On sait qu'une intégrale définie est toujours équivalente au produit de la différence entre les limites par une quantité comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la fonction sous le signe ∫ supposée réelle. Dans le cas où cette fonction conserve constamment le même signe pour des valeurs de la variable comprises entre les deux limites, la proposition que nous venons de rappeler fournit à la fois, et le signe de l'intégrale définie, et deux quantités entre lesquelles sa valeur numérique se trouve comprise. Il n'en est plus ainsi dans le cas où la fonction sous le signe ∫ est une fonction périodique qui change plusieurs fois de signe entre les limites. On conçoit done qu'il peut être souvent utile de substituer, dans les intégrales definies, des fonctions non périodiques à des fonctions périodiques. On y parvient à l'aide de la méthode qui se trouve exposée dans mon Mémoire de 1814 sur le passage du réel à l'imaginaire. Mais l'application de cette méthode exige quelquefois des artifices d'analyse qu'il convient de signaler. Ces artifices conduisent d'ailleurs à des résultats qui ne sont pas sans importance, spécialement à une transformation remarquable de certaines intégrates que l'on rencontre en Astronomie, et de diverges transcendantes qui comprennent ces intégrales comme cas particulier. C'est ce que Ton verra dans le présent Mémoire.