Considérons d'abord une fonction d'une seule variable x, ct supposons quo, en attribuant au module de cette variable une valeur déterminée, on prenne successivement pour argument les divers multiples d'un arc représenté par le rapport de la circonférence à un nombre entier n. Aux n valeurs distinctes de la variable x, ainsi obtcnues, correspondront n valeurs de la fonction elle-même, et la moyenne arithmetique entre ces dernières convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite représentée par une certaine intégrate définie. Cette limite est la valeur moyenne de la fonction pourle modulo donné de la variable x. Cela posé, le théorème relatif aux valours moyennes des fonctions d'une seule variable peut s'énoncer comme il suit :

Théoréme I. – Si une fonction de la variable x reste, avec sa dérivée. fonction continue du module et de l'argument de la variable, pour toute valeur de ce module comprise entre deux limites données, la valeur moyenne de la fonction sera, entre ces limites, indépendante de la valeur r attribuée au module de la variable.

Il y a plus : en s'appuvant sur la théoric des intégrates singulieéres, on prouvera aisément qu'on peut étendre le théorème I au cas mème où la fonction dérivéc dvient infinie ou discontinue pour certaines valeurs de la variable et pour des valeurs du module comprises entre les deux limites données. A la vérité, pour l'exactitude de la démonstration, il convient de supposer que le nombre de ces valeurs reste fini.