Considérons une fonction donnée d'une variable x réelle ou imaginaire. Si cette fonction reste continue, du moins pour des valeurs du module de la variable comprises entre certaines limites, elle sera, pour de telles valeurs, développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières de la variable. II y a plus : les divers termes de ce développement jouiront de propriétés remarquables, et qu'il paraît utile de signaler.

D'abord, la valeur d'un terme quelconque, pour un module donné de la variable, ne sera autre chose, comme on peut aisément s'en assurer, que la valeur moyenne et correspondante du produit qu'on obtient quand on multiplie la fonction elle-même par une certaine exponentielle trigonométrique. Or, de ce principe on déduit immédiatement un théorème digne d'attention, savoir, que, dans le développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes d'une variable, le module d'un terme quelconque est, pour un module donné de la variable, toujours égal ou inférieur au plus grand module correspondant de la fonction dont il s'agit.

D'ailleurs de ce premier théorème on en déduit immédiatementplusieurs autres qui permettent de transformer en méthodes rigoureuses divers procédés dont on s'était servi pour déterminer les valeurs approchées des coefficients que renferme la série.