Dans les Ouvrages d'Euler et de Lagrange, une fonction est appelée ontmue ou discontinue, suivant que les diverses valeurs de cette foncion, correspondantes à diverses valeurs de la variable, sont ou ne ont pas assujetties à une même loi, sont ou ne sont pas fournios par ne seule et même équation. C'est en ces termes que la continuité des motions se trouvait définie par ces illustres géomètres, lorsqu'ils isaient que « les fonctions arbitraires, introduces par l'intégration es équations aux dérivées partielles, peuvent être des fonctions coninues ou discontinues.» Toutefois, la définition que nous venons de appeler est loin d'offrir line précision mathématique; car, si les diverses aleurs d'une fonction, correspondantes aux diverses valeurs d'unc ariable, dépendent de deux ou de plusieurs équations distinctes, rien I'empêchera de diminuer le nombre de ces équations et même de les emplacer par une équation unique, dont la décomposition fournirait outes les autres. Il y a plus : les lois analytiques auxquelles les foncions peuvent être assujetties se trouvent généralement exprimées par es formules algébriques ou transcendantes, et il peut arriver que iverses formules représentent, pour certaines valeurs d'une vaiable x, la même fonction; puis, pour d'autres valeurs de x, des unctions différentes. Par suite, si l'on considère la définition d'Euler t de Lagrange comme applicable à toutes espéces de fonctions, soit lgébriques, soit transcendantes, un simple changement de notation uffira souvent pour transformer une fonction continue en fonction iscontinue, et réciproquement.