§ I. –Considérations générales.

J'ai, dans le Ier Volume des Exercices de Mathématiques, appliqué le calcul des résidus à la recherche et à la démonstration de diverses propriétés que possède une fonction f(z) d'une variable réelle ou imaginaire z, en supposant, comme je l'ai dit à la page 98 (théorème I), qu'a chacune des valeurs de z que l'on considére, correspond une valeur unique et déterminée de la fonction f(z). Cette étude m'a conduit (p. 109 et 110)à une formule qui est léexpression pure et simple d'un théorème fondamental et trés général dont voicil'énoncé:

Théoréme I.– Si le produit de la fonction f(z) par la variable z se réduit, pour toute valeur infinie, réelle ou imaginaire de cette variable, à une constante déterminée §, le résidu intégral de la fonction se réduira lui-mûme à cette constante.

Théorème II..– Si la constante § s'évanouit, le résidu intégral de la fonction s'évanouira pareillement.

Cette seconde proposition, énoncée à la page 110 du Volume déjà cité, est, comme on le voit, une conséquence immédiate de la première.

Il y a plus : des théorèmes que je viens de rappeler, on déduit encore d'autres propositions fondamentales qui se trouventdiscutées et développées dans le IIe Volume des Exercices. La première est le théorème dont voici l'énoncé.