On sait que d'une fraction rationnelle quelconque on peut extrairo une suite de fractions simples dont la somme augmentée, s'il y a lieu, d'une fonction entière de la variable, reproduit la fraction rationnelle donnée. On sait encore que, dans son Introduction à l'Analyse des infiniment petits, Euler a décomposé en fractions simples quelques fonctions transcendantes, entre autres la cotangente d'un arc variable, et que les formules du calcul des résidus fournissent une multitude de semblables décompositions. Les fractions simples dont il s'agit ici ont pour dénominateurs les facteurs linéaires, non de la fonction proposée, mais de sa réciproque, c'est-à-dire du rapport qu'on obtient en divisant l'unité par cette fonction, et les carrés, les cubes, etc. de ces facteurs, lorsque la fonction réciproquo, égalée à zéro, produit une équation qui offre des racines doubles, triples, etc. Quant aux numérateurs des fractions simples, on los suppose généralement réduits à dos constantes; mais cette réduction peut avoir des inconvénients que nous allons signaler.

Concevons qu'une fonction transcendante donnée, étant multipliée par un facteur linéaire de sa réciproque ou par le carré, le cube, etc. de ce facteur, si celui-ci devient double, triple, etc., le produit ainsi obtenu acquiert toujours une valeur finie pour une valeur nulle de ce facteur linéaire.