Plusieurs formules qu'EuIer a données dans son Introductio in Analysin infinitorum, et d'autres, plus générales encore, peuvent se déduire très naturellement de la considération des fonctions dont plusieurs valeurs satisfont à une même équation linéaire. C'est ce que l'on verra dans le premier paragraphe de ce Mémoire. Dans le second paragraphe, je donnerai quelques transformations remarquables des produits composés d'un nombre indéfini ou même infini de facteurs.

§ I. – Sur les fonctions dont plusieurs valeurs sont liées entre elles par une équation linéaire.

Lorsque deux ou plusieurs valeurs d'une mêmo fonction satisfont à une équation linéaire, on peut souvent de cette équation même déduire la valeur de la fonction exprimée par une série composée d'un nombre infini de termes ou par un produit composé d'un nombre infini de facteurs.

Concevons, pour fixer les idées, qu'une fonclion inconnue ϕ(x) de la variable x soit assujettie à vérifier une équation linéaire de la forme

x, X désignant deux fonctions données de la variable x, en sorte qu'on ait

Si l'on suppose que les divers termes de la suite

se déduisent les uns des autres par des formules semblables à la première des équations (2), en sorte qu'on ait

si d'aillcurs on fait, pour abréger,

alors, en remplaçant, dans l'équalion (1), x par x, puis par x, puis par x2, …, on trouvera successivement