M. Jacobi a ramené l'évaluation des fonctions elliptiques à la détermination des rapports existants entre les fonctions que nous appelons factorielles réciproques, et spécialement à la détermination de la valeur que prend un semblable rapport, lorsqu'il a pour termes deux factorielles dont les bases sont égales, mais affectées de signes contraires, ou dont les bases, divisées l'une par l'autre, fournissent un quotient égal, au signe près, à la racine carrée de la raison. On peut, avee quelque avantage, suivre une marche inverse, et, après avoir établi directement, comme nous l'avons fait dans les précédents Mémoires, les propriétés remarquables dont jouissent les rapports de factorielles réciproques et les formules qui expriment ces propriétés, on peut tirer de ces formules celles qui servent à réduire les rapports dont il s'agit aux fonctions elliptiques.

Il y a plus : en opérant ainsi, on reconnaît facilement, et les modifications que les formules de réduction doivent subir quand les bases ou les raisons des factorielles deviennent imaginaires, et les conditions sous lesquclles subsistent cos mêmes formules, qui sont l'objet principal de ce nouvel article.

Analyse.

Soit Π (x, t) la factorielle réciproque qui correspond à la base x et à la raison t, dont on suppose le module inférieur à l'unité.