Introduction.

La notice qui suit a été rédigée pour le centenaire de la mort (le 21 mai 1889) du mathématicien Georges-Henri Halphen.

La réputation d'Halphen est surtout fondée aujourd'hui sur deux séries de mémoires de géométrie algébrique. Aux débuts de la géométrie énumérative (entre Chasles et Schubert) une première série propose une théorie exhaustive des “families” de coniques du plan (complétement justifiée dans [2]); c'est le premier exemple d'étude énumérative des espaces homogènes symétriques, thème de recherches fort actif actuellement. Une seconde série aboutit au mémoire de 1882 sur la classification des courbes gauches algébriques (dont une première version fut écrite en 1869), d'une ampleur de vues exceptionnelle. Les questions que ce mémoire a soulevées sont encore loin d'être résolues (cf. [4]). L'essentiel de ces travaux semble antérieur à 1875.

De 1875 à 1885, Halphen suit une ligne de recherche trés précise mais difficilement caractérisable, partant de l'étude énumérative des points d'une courbe algébrique plane qui sont solution d'une équation différentielle donnée (à coefficients fonctions rationnelles des coordonnées), aboutissant à une série de mémoires sur la classification des équations différentielles linéaires et la “théorie de Galois” de celles-ci. L'étude critique de ces travaux n'a pas été faite. Après 1885 Halphen se consacre à la rédaction de son livre [6], synthèse très élaborée de la théorie classique des fonctions elliptiques, malheureusement interrompue avant l'entrée en scène des applications algébriques et arithmétiques, mais gardant sans doute un intérêt actuel sur de nombreux points (cf. 3.6).