En considérant une surface quelconque du second ordre, le problème se presente: d'examiner les proprietés des coniques inscrites dans cette surface et des cônes circonscrits. La plupart de ces propriétés est peut-être connue; cependant je crois qu'on ne les a pas encore développées systématiquement. Je me propose de donner ici l'analyse des propriétés les plus simples d'un tel système de coniques, et la solution du problème analogue au problème des tactions qui se présente ici, ainsi que quelques théorèmes relatifs au passage à un système de coniques situées dans un même plan et inscrites dans une même conique, en me réservant pour une seconde partie de ce mémoire les développements ultérieurs concernant ce passage, et la solution complète du problème analogue au problème de Malfatti, généralisé par M. Steiner.

Remarquons d'abord que les coniques inscrites et les cônes circonscrits, ainsi que les plans des coniques inscrites et les sommets des cônes circonscrits, sont des figures réciproques par rapport à la surface du second ordre. En considérant deux coniques inscrites quelconques, et les cônes circonscrits correspondants, on remarquera que les plans des coniques inscrites se rencontrent dans une droite. Je la nommerai Droite de symptose. Les sommets des cônes circonscrits seront situés dans une droite que je nommerai Droite d'homologie. Ces deux droites seront évidemment réciproques l'une à, l'autre. II se trouvera sur la droite d'homologie deux points dont chacun est le sommet d'un c^ne qui passe par les deux coniques inscrites. Ces deux points peuvent être nommés Points d'homologie.