1.1. — Le titre de cette note indique que le problème étudié est très général et par le fait même applicable à de nombreux domaines; physique, biologie, recherche opérationnelle, assurances, téléphonie, etc …

C'est évidemment parce que certains problèmes ont la même structure que leur considération sous forme abstraite, est plus importante. C'est la raison pour laquelle nous traitons le problème de structure, qu'il suffit de particulariser dans chaque domaine d'application.

a) Nous supposerons une période de référence de durée constante.

b) Un évènement E, généralement quelconque, mais invariable, peut se produire pendant cette période. Le nombre de fois que cet évènement se réalise est une variable aléatoire I, qui sera définie par la suite

qi désignant la probabilité pour que E se réalise i fois pendant la période de référence. Nous conviendrons de dire que I mesure l' “intensite” du phénomène E.

c) Lorsque l'évènement E se réalise, on effectue une expérience relativement à. une autre variable aléatoire quantitative N (positive ou non). Cette variable stochastique est completement définie par sa fonction de répartition.

F(n) = prob{N<n}

généralement quelconque; nous conviendrons de dire que n est le “niveau” atteint par la variable N au cours de l'expérience.

1.3. — De nombreux problèmes de la vie courante peuvent être synthétisés sous cette forme et pour ne mentionner que quelques dans le domaine de la vie des organismes d'assurances, citons sous forme de tableau

Cette simple énumération indique la grande variété de problèmes de même structure que l'on rencontre journellement; il est par suite utile de les traiter en synthèse.

Le “Contrôle actuariel dans la comptabilité des branches élémentaires” constitue le 2e thème de ce colloque, tel que l'annonce le programme officiel. Ce thème comprend une ière partie intitulée: “Problèmes relatifs aux sinistres”, qui est le sujet de cette séance.

Les notes préliminaires de notre Président, parues dans notre dernier bulletin, suggéraient d'orienter les travaux vers les applications pratiques de l'important travail théorique déjà réalisé dans le cadre d'Astin. Plus particulièrement en ce qui concerne les sinistres dans les assurances de responsabilité civile, ces notes attiraient l'attention sur une certaine analogie que la longue dureé de règlement des sinistres pouvait créer entre l'estimation des réserves pour sinistres à régler et l'évaluation des réserves mathématiques en branche Vie et elles soulevaient dès lors assez naturellement la question des méthodes d'estimation collective. En fait, les communications qui ont été rattachèes à cette rère partie du 2e thème interprètent le sujet de manière extrêmement large. Ne voyez dans cette réflexion initiale nul reproche aux auteurs, mais la simple constatation d'un fait dont mon rapport introductif doit tenir compte: il ne sera pas une synthese dans les directions proposées par notre Président.

Une partie des communications se rattache au fond à la théiorie du risque. Pour mieux dégager l'apport de ces notes, je me propose de le dépouiller autant que possible de son aspect purement mathématique et de le situer dans l'évolution des idées et des recherches en la matière.

J'indiquerai ensuite l'apport des communications au sujet de l'estimation des réserves pour sinistres à régler.

Enfin, je résumerai les travaux qui se rapportent à la tarification du risque automobile.

In preparing the notes on the subjects for discussion at the 4th ASTIN Colloquium at Trieste [1] I used some of the material which formed the basis of a talk given to the Scandinavian Actuarial Societies in September 1962. The papers presented in Trieste have established on a firm mathematical footing the formula for the excess loss premium derived in my note but the discussions also showed that some of the other 1962 material would be of interest.

It will be appreciated that the question originally proposed, i.e. to calculate an excess of loss reinsurance premium when the only information available is the largest claim experienced in each of a succession of periods, was deliberately phrased in this form as being the most troublesome case likely to arise in practice. Clearly if other information is available it would not be rejected in arriving at a premium, but this immediately extends the problem to one of finding the best methods of combining information of different kinds. For example if, say, the largest 5 claims in each period are known, what technique will make the maximum use of the data? Such extensions of the problem are not discussed in this note. Furthermore, I am not unmindful of the valuable comment by Jung, “that there is a natural law which states that you can never get more out of a mincing machine than what you have put into it” [2].

L'intérêt de ce sujet en soi-même, au point de vue des mathématiques, du calcul des probabilités et de la statistique — les différents aspects et questions qui peuvent le relier à des applications dans le domaine des assurances — le fait que des discussions à cet égard ont été commencées l'année dernière à Juan-les-Pins avec l'importante contribution de M. Franckx et favorisées ensuite par les notes introductives de M. Beard si riches en indications et suggestions — toutes ces choses auraient dû conduire, sinon à épuiser le sujet dans le présent colloque — à achever une base de discussion suffisamment complète et variée.

Sans doute, cela aurait été un miracle, et c'est loin d'être étonnant si cela ne s'est pas passé. En effet, c'est bien naturel que les communications à un congrès portent aux sujets en programme des contributions fragmentaires concernant des aspects particuliers choisis par chaque auteur d'après ses intérêts et son point de vue. Et ce fait en soi est fécond en ce qui concerne la pluralité des intérêts et des points de vue: seulement il serait souhaitable d'éviter le caractère partiel et fragmentaire du résultat d'ensemble. Je crois que la voie suivie par ASTIN pourrait amener à ce résultat heureux, et qu'il suffirait à ce but de la perfectionner quelque peu davantage: par exemple, en cherchant à favoriser par des contacts préalables, chaque année pour l'année suivante, la préparation (toujours libre et indépendante) d'un ensemble minimum de contributions suffisant pour le recouvrement d'au moins tous les traits essentiels du sujet. Toute suggestion de ce genre, il est bien entendu plus aisée de l'avancer que de la réaliser; mais, si elle n'est pas totalement utopique (et s'il n'y a pas de raison de craindre qu'elle décourage la présentation d'autres contributions), je pense que ASTIN, qui se trouve dans la phase de formation d'une tradition et qui n'a besoin que de perfectionner des procédés déjà spontanément adoptés, est dans les conditions les meilleures pour y réussir.

A compound Poisson process, in this context abbreviated to cPp, is defined by a probability distribution of the number m of events in the interval (o, τ) of the original scale of the process parameter, assumed to be one-dimensional, in the following form.

where du shall be inserted for t, λτ being the intensity function of a Poisson process with the expected number t of events in the interval (O, τ) and U(ν, τ) is the distribution function of ν for every fixed value of τ, here called the risk distribution. If the inverse of is substituted for τ, in the right membrum of (1), the function obtained is a function of t.

If the risk distribution is defined by the general form U(ν, τ) the process defined by (1) is called a cPp in the wide sense (i.w.s.). In the sequel two particular cases for U(ν, τ) shall be considered, namely when it has the form of distribution functions, which define a primary process being stationary (in the weak sense) or non-stationary, and when it is equal to U1(ν) independently of τ. The process defined by (1) is in these cases called a stationary or non-stationary (s. or n.s.)cPp and a cPpin the narrow sense (i.n.s.) respectively. If a process is non-elementary i.e. the size of one change in the random function constituting the process is a random variable, the distribution of this variable conditioned by the hypothesis that such a change has occurred at τ is here called the change distribution and denoted by V(x, τ), or, if it is independent of τ, by V1(x). In an elementary process the size of one change is a constant, so that, in this case, the change distribution reduces to the unity distribution E(x — k), where E(ξ) is equal to I, o, if ξ is non-negative, negative respectively, and k is a given constant.

In his report to the XVIth International Congress of Actuaries in Brussels [5] in 1960 the author has given a survey of the German Motor Insurance Business and in this it was mentioned that a change might be expected from the flat-tariff prescribed by law into individual tariffs for every insurance company. The Federal Ministry of Economics decided this question at the end of 1959 by signing the price regulation PR 15/59 [I] The federal price-fixing treaty had thus come to an end after several decades.

Three steps are planned for the transitional period: For the years i960 and 1961 the flat-tariff remained in existence; free competition was introduced by providing for a return of premiums from technical surplus. At the beginning of 1962 the second phase of liberalisation began: Between 1962–1965 each insurance company has to compute its own tariff which has to be approved by the Federal Ministry of Economics. No deviations are permitted from the approved tariffs. Nobody can tell yet what the third phase in 1966 will bring.

At the time the price-fixing agreements were cancelled it was unanimously agreed that proper competition should be maintained and that ruinous price competition which would harm the interests of victims of traffic accidents must be avoided [4]. Trusts or tariff rings were not taken into consideration. However, some market regulations were set up by co-operation between the different parties.

The benefits (insurance conditions) are the same for all insurance enterprises. Also there are only few alternatives in the tariff conditions.

The theory of extreme values is a special branch of mathematical statistics and was mainly treated by E. J. Gumbel [4]). This theory has only been applied in a few cases to problems in the insurance business. The first practical application to insurance known to the author of the present paper is due to A. Thépaut who has invented a new reinsurance system called ECOMOR [5]. According to this system the reinsurer covers the excess risk for the m largest claims and the ceding company retains an amount equal to the (m + I) largest claim. The credit for having pointed out the importance of the theory of extreme values belongs to R. E. Beard [1]. Recently E. Franckx [3] has found a most remarkable result by disclosing the general form of the distribution for the largest claim occurring in a certain accounting period.

The present paper starts from the consideration that not only is the distribution of major claims, which might be eliminated by means of reinsurance, of interest to an insurer but also the distribution of the remaining total loss after excluding the largest claims. The nature of this distribution is important not only in connection with stability and security, but also for statistical investigations of the observed claim ratio. The credibility of such an investigation might be greatly improved if a suitable number of major claims were excluded. To simplify matters, the present paper considers the case where only the largest claim is excluded.

Pour construire un tarif “Automobile” il est nécessaire d'étudier la charge des sinistres causés par les véhicules appartenant à des groupes homogènes divers: il est commode de procéder à un échantillonnage.

On peut construire un échantillon où figurent des proportions constantes ou connues de chacun des groupes constituant la population à étudier.

En pratique l'échantillonnage, doit, pour avoir une efficacité admissible, être particulièrement important dans les groupes à faible fréquence pour donner un nombre significatif de sinistres.

Or, comme pour déterminer la méthode de sélection des échantillons on ne connait pas le groupe des véhicules sélectionnés, on serait contraint de prendre un échantillon très important.

En France, le Groupement Technique Accidents fait des études sur la totalité des véhicules assurés par les Compagnies adhérentes à la statistique commune et qui représentent un tiers du Pare National.

L'inconvénient de la méthode actuelle est l'impossibilité d'étudier rapidement un nouveau critère — car il faut attendre les mouvements sur le portefeuille à l'occasion desquels on enregistre le critère à étudier; les mouvements, en outre, frappent probablement moins les véliicules à faible fréquence. Le délai nécessaire pour l'étude d'un nouveau critère se compte en années.

Il peut être souhaitable pour suivre l'évolution économique ou sociale d'étudier rapidement dans un délai chiffré en mois, l'influence de certains critères nouveaux, pour éviter sous la pression d'événements extérieurs d'être amené à. prendre des décisions dites “politiques” — cet euphémisme justifiant, dans le doute, des réductions de tarif explicables uniquement par le fait qu'un concurrent dangereux est peut-être sérieux — à ce moment il est inévitable de procéder à un sondage.

In practical applications of the collective theory of risk one is very often confronted with the problem of making some kind of assumptions about the form of the distribution functions underlying the frequency as well as the severity of claims. Lundberg's [6] and Cramér's [3] approach are essentially based upon the hypothesis that the number of claims occurring in a certain period obey the Poisson distribution whereas for the conditional distribution of the amount claimed upon occurrence of such a claim the exponential distribution is very often used. Of course, by weighting the Poisson distributions (as e.g. done by Ammeter [1]) one enlarges the class of “frequency of claims” distributions considerably but nevertheless there remains an uneasy feeling about artificial assumptions, which are just made for mathematical convenience but are not necessarily related to the practical problems to which the theory of risk is applied.

It seems to me that, before applying the general model of the theory of risk, one should always ask the question: “How much information do we want from the mathematical model which describes the risk process?” The answer will be that in many practical cases it is sufficient to determine the mean and the variance of this process. Let me only mention the rate making, the experience control, the refund problems and the detection of secular trends in a certain risk category. In all these cases the practical solutions seem to be sufficiently determined by mean and variance.

Let us therefore attack the problem of determining mean and variance of the risk process while trying to make as few assumptions as possible about the type of the underlying probability distributions. This approach is not original. De Finetti [5] has already proposed an approach to risk theory only based upon the knowledge of mean and variance. It is along his lines of thought, although in different mathematical form, that I wish to proceed.

1. The comfound Poisson process in the wide sense is defined as a process for which the probability distribution of the number i of changes in the random function attached to the process, while the parameter passes from o to a fixed value τ of the parameter measured on a suitable scale, is given by the Laplace-Stieltjes integral

where U(ν, τ) for a fixed value of τ defines the distribution of ν. U(ν, τ) is called the risk distribution and is either τ-independent or, dependent on ν, τ.

2. The compound Poisson process in the narrow sense is defined as a process for which the probability distribution of the number of changes can be written in the form of (I) with a τ-independent risk distribution.

In their general form these processes have been analyzed by Ove Lundberg (1940). For such processes the following relation holds for the probability of i changes in the interval ο to τ, P̅i (τ) say

this relation does not hold for processes with τ-dependent risk distribution. Hofmann (1955) has introduced a sub-set of the processes concerned in this section for which the probability for non-occurrence of a change in the interval o to τ is defined as a solution of the differential equation

and ϰ ≥ o; the solutions may be written in the form where η is independent of and of two alternative forms one for ϰ = I and one for other values of ϰ. The probabilities for i changes in the interval o to τ in the processes defined by the solutions of Hofmann's equation are derived by Leibniz's formula, and are designated by and, in this paper, called Hofmann probabilities.

En matière de détermination de la prime de réassurance en “excédent de sinistres”, nous nous trouvons devant le problème de la distribution des valeurs extrêmes, duquel nous avons déjà une littérature vaste et bien connue, plus particulièrement en ce qui concerne l'allure asymptotique de la distribution qui nous intéresse. Dans cette note on veut indiquer, dans ses grandes lignes, un procédé largement dégagé des résultats de la théorie mentionnée, qui permet un examen de l'influence réciproque entre les hypothèses et la signification des résultats expérimentaux qui est dans l'esprit du procédé par induction.

Pour fixer l'attention sur l'allure asymptotique de la distribution, sans nous occuper de sa forme d'ensemble, nous n'examinerons que la distribution des sinistres qui dépassent une certaine valeur ξ. En particulier, nous pouvons choisir pour cette valeur la limite assignée pour une certaine forme de réassurance; d'ailleurs, on peut penser à un choix arbitraire, ce qui se fera également dans cette note, où elle sera supposée indéterminée à priori, afin que l'on puisse la choisir sur la base des résultats obtenus.

Soit done ξ l'extrême inferieur des sinistres, exprimés en termes monétaires, dont la distribution est à l'étude; et soit F(x;ξ = P(X ≤ x | X ˃ ξ) la fonction de répartition correspondante. En pratique, nous pourrons assumer comme F(x;ξ) une fonction, opportunément simple, qui respecce nos hypothèses dans un voisinage droit suffisamment grand de ξ. Cette précision sera sousentendu par la suite, de sorte que, lorsque nous considérerons le simple exemple concret exposé plus bas, nous devrons tenir compte du fait que la foncion F(x; ξ) considérée n'est qu'une approximation, valide dans un voisinage droit de ξ, de la distribution effective.

Il est peu de problèmes, dans l'industrie de l'assurance, dont la solution occasionne autant de difficultés que celui consistant à fixer dans l'assurance Automobile une prime équitable du point de vue technique.

On a tenté, dans plusieurs pays, de s'attaquer à ce problème par le moyen d'un bonus progressif dont bénéficierait le souscripteur n'annonçant pas de sinistre. Cependant, tant les théoriciens que les praticiens sont très partagés sur l'opportunité de cette solution.

Certains mathématiciens et juristes repoussent catégoriquement le système du bonus et qualifient l'idée de la ristourne d'une partie de la prime à l'assuré n'ayant pas eu de sinistre comme étant contraire à la notion même de l'assurance. Lors d'un des derniers congrès internationaux d'actuaires, ce procédé aurait — avec un peu d'exagération — été défini comme suit: Le bonus est, en matière d'assurance, une renonciation organisée de l'assurance. Cette opinion est principalement défendue par certains actuaires franҁais ).

D'autres mathématiciens, cependant, sont d'avis que le bonus est une précieuse disposition permettant, sur la base des sinistres survenus, d'évaluer chaque risque individuel plus rigoureusement que si I'on renonҁait à cette pratique). Et, à leur avis, il est inopportun de ne pas faire usage de cet élément d'information.

2. “Absence de sinistres” et “Nombre de sinistres”

Normalement, les primes d'assurance dépendent d'un certain nombre de facteurs caractéristiques du risque, à l'exclusion cependant des sinistres concernant un contrat particulier.

Le principe de l'assurance contre les accidents d'automobiles est la formation d'une mutualité où les assurés mettent en commun leurs risques. Si les risques des assures ne sont pas tous égaux entre eux, il est normal de demander à chacun des assurés une prime proportionnelle au risque qu'il fait supporter à la mutualité. La tarification a pour objet l'estimation du risque propre à chaque assuré, afín de répartir équitablement la charge totale de la mutualité.

On groupe habituellement les véhicules ayant en commun plusieurs caractéristiques du risque telles que même modèle de voiture, même usage, même lieu de garage habituel. Nous désignerons un tel groupement par classe de tarif.

On observe les accidents relatifs aux véhicules appartenant à une même classe de tarif. Le quotient du coût de ces accidents au nombre de voitures-année donne la prime moyenne pure empirique. Cette prime moyenne subit alors quelques corrections pour tenir compte de la survenance au hasard des gros sinistres et du fait que la prime à indiquer dans le tarif estime le risque moyen futur et non pas le risque passé Cette prime moyenne sera demandée à toutes les voitures ayant les caractéristiques définies par la classe de tarif; elle suppose que tous les risques de cette classe sont égaux, c'est-à-dire que les seuls paramètres de tarification retenus sont exhaustifs pour caractériser le risque que l'assuré fera supporter à la mutualité.

The no-claim bonus problem has given rise to a considerable amount of discussion throughout the whole world. There is quite a difference of opinion among the actuaries and other experts concerned in this field and several exchanges of view have taken place the last few years. The ASTIN section of the Permanent Committee has been well aware of this fact and it has devoted one Colloquium to this subject and discussed it at others.

In 1959 the major part of the La Baule meeting was dedicated to this subject and attention was focussed on this problem once again at Rattvik in 1961. Nevertheless controversies on this subject still continue. Almost every conference where the bonus problem is discussed is marked by a widespread difference of opinion.

As is well known, the claim frequencies under insurance policies show a considerable heterogeneity, especially in the early years. It is not possible to get homogeneous sub-groups by means of a continuous subdivision; what may be gained in homogeneity, is lost in credibility. It seems therefore that a subsequent adjustment of premiums according to the past claim record may well be a suitable way of obtaining a fair premium.

Those who are in favour of a rating procedure granting a bonus at a careful driver will stress that criticism is useless as long as no better solution is available, whereas actuaries who reject such a rating system argue that the unfairness of a flat rate is not at all eliminated by means of a bonus.

Soit x1 ≤ x2, ≤ … ≤ xn—m + 1 ≤… ≤xn—p+1≤…≤ xn un échantillon ordonné de taille n d'une distribution dont F(x) et T(x) sont respectivement la fonction de répartition et la fonction de densité.

Nous appelons xn—m+1 la valeur de rang m de l'échantillon (x1, x2,…xn).

Pour simplifier l'écriture nous remplacerons partout l'indice n — m + I par m.

Avec cette convention nous notons la valeur caractéristique de rang m et l'intensité de rang m respectivement par um et αm [I].

Par définition on a:

Notons enfin par Fm (x) et Tm (x) la fonction de répartition et la fonction de densité de xm pour n → ∞ et m fixe.

2.1. Avant de résumer les différents points traités dans cette note, rappelons les particularités qui caractérisent la distribution asymptotique de la plus grande valeur x1 d'un échantillon. On sait que cette distribution existe si et seulement si la fonction de répartition F(x) appartient à un des trois types suivants [2]:

a) Type I: F(x) est du type exponentiel.

Le domaine de x est illimité vers la droite et F(x) tend vers I pour x → + ∞ au moins aussi rapidement qu'une fonction exponentielle.

Tous les moments de F(x) existent.

b) Type II: F(x) est du type de Cauchy.

Le domaine de x est illiminté vers la droite.