Lorsqu'une fois on a établi, pour un nombre donné n, la théorie de la décomposition des polynômes radicaux, formés avec les puissances d'une racine nieme de l'unité, en facteurs premiers, on peut déduire immédiatement de cette theorie une multitude de conséquences dignes de Remarque. Je vais en indiquer quelqucs-unes dans le paragraphe suivant.

§ III. – Conséquences diverses de la décomposition des polynômes radicaiu en facteurs premiers.

Soit n un nombre premier impair; soit encore p une racine imaginaire, par conséquent primitive, de l'équation

et stipposons établie la théorie de la décomposition des polynômes radicaux formés, avec rettc racine, en facteurs premiers. Le nombre premier n pourra être décomposé on facteurs radicaux à l'aide do l'équation identique

Mais ces facteurs ne seront pas premiers entre eux. Au contraire, tons seront divisibles par l'un quelconque d'entre eux, les quotients étant des diviseurs de l'unité car, si l'on nomme φ(p) le quotient qu'on obtient en divisant i – ph par 1 - pk, h et k étant deux termes quelconques de la suite

on aura évidemment,

par conséquent.

On peut observer encore que, en vertu de la formule (2), on aura,

φ (p) étant un polynôme radical à coefficients éntiers, equivalent au produit des rapports.

Il est d'ailleurs évident que, dans la formule (2), chaquo facteur sera premier, c'est-à-dire non décomposable en deux facteurs qui ne diviseraient pas l'unité; car une telle décomposition entraînerait la décomposition du nombre n lui-même en deux facteurs distincts de l'unité, ce qui est impossible.