Résumé

Le but de cette note est de compléter certains arguments contenus dans [Ota95], en particulier le théorèeme A de cette note qui établissait que les géodésiques fermées de longueur suffisamment courte dans une variété hyperbolique ayant le type d'homotopie d'une surface compacte sont “non nouées”. Nous considèrerons aussi des variétés hyperboliques plus générales, et donnerons une condition portant sur le cœur de Nielsen d'une telle variété pour qu'une géodésique fermée y soit non nouée.

Closed geodesics in a hyperbolic manifold, viewed as knots

Abstract

The goal of this note is to complete some arguments given in [Ota95], in particular in Theorem A of that paper which stated that the closed geodesics which are sufficiently short in a hyperbolic 3-manifold homotopic equivalent to a closed surface are “unknotted”. We will consider also more general hyperbolic 3-manifolds, and give a condition on the Nielsen core of such a manifold insuring that a closed geodesic be unknotted.

Introduction

Définition 1.1. Soit S une surface (pas nécessairement compacte) et f : S → M un plongement dans une variété M de dimension 3. On dit qu'une courbe fermée sans points doubles γ ⊂ M est non nouée par rapport à f : S → M si le plongement f est proprement isotope à un plongement f′ telle que γ soit contenue dans f′ (S).