Concevons d'abord qu'il s'agisse d'intégrer l'équation différentielle

a1, a2, …, an, an designant des coefficients constants; et faisons, pour abréger,

II est clair que, pour vérifier l'équation (1), il suffira de prendre π(r) désignant une fonction arbitraire de r qui ne devienne pas infinie pour des valeurs de r propres à vérifier la formule

Effectivement, si 1'on substitue la valeur précédente de y dans le premier membre de l'équation (1), ce premier membre se trouvera reduit à

D'ailleurs, les valeurs de π(r), π′(r), …, qui correspondent aux diverses racines égales ou inégales de l'équation (4), pouvant etre cboisies arbitrairement, il est aise de reconnai'tre que la valeur de y, fournie par l'équation (3), renfermera un nombre n de constantes arbitraires. Done, l'équation (3) sera l'integrale générate de l'équation (i).

Considérons maintenant l'équation differentielle

Pour que les dérivées de cette dernière valeur de y, depuis la dérivée du premier ordre jusqu' à celle de l'ordre n — 1, conserventla forme qu'elles prendraient si Ton remplagait ψ (r, x) par ϕ (r),.il suftira d'admettre que Ton a, pour toutes les valeurs entieres de m inferieures à n — 1,

Ajoutons que, si cette condition est remplie, on tirera de l'équation (6), en y substituant la valeur de y donnee par la formule (7),

Toute la question se réduit done à déterminer la fonction ψ(r,x) de manière qu'elle vérifie les équations (8) et (9).