EXISTENCE DE SÉRIES DE FOURIER DIVERGENTES

44. Exemple de fonction continue dont la série de Fourier ne converge pas partout. — Paul du Bois-Reymond réussit le premier à construire des fonctions continues dont la série de Fourier ne converge pas partout.

L'étude du très remarquable Mémoire de Paul du Bois-Reymond doit être recommandée à tous ceux qui veulent approfondir les questions relatives à la convergence et à la divergence des séries de Fourier. Du Bois-Reymond y introduit une notion que nous n'avons pas eu l'occasion d'utiliser : la notion de type d'infinitude d'une fonction f(t) qui croît indéfiniment avec t.

Pour les fonctions continues qu'étudie du Bois-Reymond, fonctions toutes spéciales et formées par un procédé très particulier il est vrai, c'est par la comparaison de types d'infinitudes qu'on peut décider de la convergence ou de la divergence. Il y a là un fait dont devront sans doute tenir compte ceux qui voudraient essayer d'obtenir des conditions de divergence des séries de Fourier.

Je ne donnerai pas ici les fonctions à séries de Fourier divergentes construites par P. du Bois-Reymond; leur définition et leur étude sont assez compliquées. De l'exemple général de du Bois-Reymond, M. Schwarz a déduit un exemple plus particulier et plus simple qu'il a fait connaître dans ses Cours et qu'on trouvera dans la Notice de M. Arnold Sachse déjà citée (n° 15).

Voici un exemple un peu plus simple que celui de M. Schwars duquel d'ailleurs il diffère peu.