Une proposition digne de remarque, dans la théorie des permutations, est celle que j'ai donnée dans la séance du 10 novembre dernier (page 1039), savoir, que le produit des ordres de deux systèmes de substitutions conjuguées divise exactement la différence entre le nombre des arrangements que l'on peut former avec les diverges variables et le nombre des solutions de l'équation linéaire symbolique dont les deux membres sont les produits d'une même substitution par les termes généraux des deux systèmes, l'un de ces termes étant pris pour multiplicande, et l'autre pour multiplicateur. Comme de cette proposition l'on peut immédiatement déduire un grand nombre d'autres théorèmes, il m'a semblé qu'il serait utile de l'établir, s'il était possible, é l'aide d'une démonstration simple et directe. Tel me parait ètre le double caractère de celle que je vais exposer en

peu de mots.

Théorème. – Formons avec n variables

deux systèmes de substitutions conjuguees; et soient

res deux systèmes, le premier de l'ordre a, le second de l'ordre b. Soient d'ailleurs h, k deux nombres entiers quelconques; nommons I le nombre des substitutions R pour lesquelles se vérifient des équations symboliques tie la forme