Soit Ω un domaine borné de RN, et soit f:Ω × R → R une fonction satisfaisant à la condition de Carathéodory (i.e., f(s, ·) est continue pour presque tout s ∊ Ω, et f (·, u) est mesurable pour tout u ∊ R). Considérons l'opérateur de la superposition
(1.1)![](//static.cambridge.org/content/id/urn%3Acambridge.org%3Aid%3Aarticle%3AS0008414X00005976/resource/name/S0008414X00005976_eqn1.gif?pub-status=live)
(encore appelé opérateur de Nemyckii), engendré par la fonction f. Cet opérateur joue un grand rôle dans la théorie des équations intégrales, différentielles (ordinaires et aux dérivées partielles), et fonctionnelles-différentielles, où il est important de connaître les propriétés analytiques et topologiques de F dans certains espaces de fonctions mesurables, intégrables, continues, différentiables, analytiques etc., les propriétés les plus importantes étant : théorèmes de transfert, de continuité, de bornage, et de compacité. Par exemple, on connaît de nombreux résultats sur l'opérateur (1) dans les espaces de Lebesgue L (voir [10] pour une présentation assez complète); en effet, si l'opérateur (1) envoie une partie de L , d'intérieur non vide, dans L, alors, il est automatiquement continu et borné sur chaque boule.