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Orbifoldes géométriques spéciales et classification biméromorphe des variétés kählériennes compactes

Part of: Compact analytic spaces Arithmetic algebraic geometry Birational geometry

Published online by Cambridge University Press:  28 May 2010

Frédéric Campana
Frédéric Campana
Affiliation:
Département de Mathématiques, Université Nancy 1, BP 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy, Cedex, France (campana@iecn.u-nancy.fr)
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Résumé

Le présent texte, suite de l'article paru en 2004 aux Annales de l'Institut Fourier, définit et établit les propriétés de base des orbifoldes géométriques, essentielles pour la compréhension de la structure birationnelle des variétés projectives ou Kählériennes compactes, et qui permettent d'en donner une vue synthétique globale très simple. Les démonstrations données reposent cependant sur les techniques usuelles de la géométrie algébrique/analytique. De nombreuses questions ou conjectures sont également formulées à leur sujet.

Bien que les orbifoldes géométriques ne soient autres que les paires (X|Δ) du LMMP (avec éX compacte et Kähler), leur origine et leurs motivations initiales sont entièrement différentes : le diviseur orbifolde Δ, analogue à un diviseur de ramification, encode les fibres multiples d'une fibration de base X, et (X|Δ) apparait comme un revêtement de X qui ramifie exactement (multiplicités comprises) au-dessus de Δ, et élimine les fibres multiples en codimension 1, par changement de base virtuel. Cette origine géométrique permet de munir naturellement les orbifoldes géométriques des invariants usuels des variétés : morphismes et applications biméromorphes, formes différentielles, groupe fondamental et revêtement universel, pseudométrique de Kobayashi, corps de définition et points rationnels. On s'attend à ce que leur géométrie qualitative soit la même que celle des variétés ayant des invariants similaires. Les plus élémentaires de ces propriétés géométriques sont établies ici, par adaptation directe des arguments utilisés pour les variétés

Les fibrations possédent, dans la catégorie biméromorphe des orbifoldes géométriques, des propriétés d'extension (ou « d'additivité ») non satisfaites dans la catégorie des variétés sans structure orbifolde, ce qui permet d'exprimer certains invariants de l'espace total comme extension (ou « somme ») de ceux de la fibre générale orbifolde, et de la base orbifolde. Par exemple, la suite des groupes fondamentaux est toujours exacte dans la catégorie orbifolde. De même, l'espace total d'une fibration est spéciale (voir ci-dessous) si la fibre orbifolde générique et la base orbifode le sont. En fait, les orbifoldes géométriques ont été initialement introduites précisément pour remédier à ce défaut d'additivité.

Une conséquence naturelle de ces constructions est l'introduction d'une classe nouvelle : les orbifoldes géométriques spéciales, qui sont celles qui ne dominent méromorphiquement aucune orbifolde géométrique de type général et de dimension positive. Ces orbifoldes spéciales sont exactement celles qui sont (canoniquement) décomposées (conditionnellement en une variante orbifolde de la conjecture Cn,m) en tours de fibrations ayant des fibres telles que, ou bien κ = 0, ou bien κ+ = −∞. Ces dernières sont celles ne dominant pas d'orbifolde de dimension strictement positive et telle que κ ≥ 0. Conjecturalement, ce sont celles qui sont rationnellement connexes dans la catégorie orbifolde. La connexité rationnelle est définie de la façon habituelle, une fois les courbes rationnelles orbifoldes définies.

Cette décomposition permet de relever aux orbifoldes spéciales certaines propriétés connues ou conjecturées pour les orbifoldes telles que κ+ = −∞ ou κ = 0, et elle conduit à conjecturer, entre autres, que le fait d'être spéciale est la caractérisation exacte de certaines propriétés importantes (telles que la densité potentielle ou l'annulation de la pseudométrique de Kobayashi). Elles jouent conjecturalement un rôle central dans d'autres problèmes, tels que les espaces de paramètre des familles de variétés canoniquement polarisées.

Enfin, nous construisons, sur toute orbifolde géométrique (X|Δ), une unique fibration caractérisée par le fait que ses fibres orbifoldes sont spéciales, et sa base orbifolde de type général. Cette fibration scinde donc l'orbifolde en ses parties antithétiques: spéciale (les fibres) et de type général (la base) au niveau géométrique, mais aussi conjecturalement aux niveaux arithmétique et hyperbolique.

De nombreux problèmes essentiels relatifs à l'équivalence biméromorphe dans cette catégorie orbifolde restent néammoins ouverts (en particulier, leur extension aux orbifoldes Log-terminales ou Log-canoniques).

On trouvera dans l'article à paraitre dans les proceedings de la conférence de Schiermonnikoog une version abrégée en anglais du présent texte, ainsi que des compléments sur les relations avec le LMMP.

Abstract

The present text, a continuation of the article that appeared in 2004 in Annales de l'Institut Fourier, defines and establishes the basic properties of new objects, the geometric orbifolds, which play an essential role in understanding the bimeromorphic structure of compact Kähler or complex projective varieties, and allows us to describe them in a very simple and synthetic way. The proofs rest however on standard methods of complex analytic/algebraic methods. Numerous questions and conjectures are formulated about these orbifolds.

Although these geometric orbifolds are nothing more than the pairs (X|) of the LMMP (with X compact Kähler), their origin and motivations are entirely different: the orbifold divisor Δ, similar to a ramification divisor, indeed encodes the multiple fibres of a fibration over X, and (X|Δ) appears as a virtual cover of X ramifying exactly (multiplicities included) over Δ, and eliminating by a virtual base-change the multiple fibres in codimension 1. This geometric origin naturally permits us to equip geometric orbifolds with the usual invariants of varieties: morphisms and bimeromorphic maps, differential forms, fundamental groups and universal covers, Kobayashi pseudometrics, fields of definition and rational points. The general expectation is that their geometry is qualitatively the same as that of manifolds with similar invariants. The most elementary of such geometric properties are established here, by direct adaptation of the arguments used in the case of varieties.

Fibrations possess in the orbifold category extension (or additivity) properties not satisfied in the category of varieties, which permits to expresssome invariants of the total orbifold as extension (or sum) of these invariants for the generic orbifold fibre and the orbifold base of the fibration. For example, the natural sequence of fundamental groups always becomes exact in the orbifold category. Also the total space of a fibration is special (see right below) if so are the generic orbifold fibre and the orbifold base. In fact, geometric orbifolds were initially introduced precisely to remedy this last lack of additivity.

These construction naturally lead to the introduction of a new class of orbifolds: the special orbifolds. By definition, these are the ones not dominating meromorphically any positive-dimensional orbifold of general type. These special orbifolds are also exactly the ones which can be (conditionally in an orbifold variant of the Cn,m conjecture) decomposed (canonically) as towers of fibrations having fibres either with κ = 0, or κ+ = −∞. The property κ+ = −∞ means that the orbifold under consideration does not dominate any positive-dimensional orbifold with κ ≥ 0. Conjecturally, κ+ = −∞ also means rationally connected in the orbifold category. Rational connectedness being defined as usual, once orbifold rational curves are defined.

This decomposition permits to lift to special orbifolds properties known or conjectured to hold for orbifolds having either κ+ = −∞ or κ = 0. And leads to expect that specialness is the exact geometric characterization of some important properties (such as potential density or vanishing of the Kobayashi pseudometric). They also play conjecturally a central role in other problems, such as parameter spaces of canonically polarized manifolds.

We also construct, on any (compact Kähler) orbifold, a unique fibration, its core map, characterized by having special orbifold fibres and general type orbifold base. This fibration thus splits the orbifold into its two antithetic parts: special versus general type at the geometric level, but also conjecturally at the arithmetic and complex hyperbolic levels.

Many essential problems about bimeromorphic equivalence in the orbifold category are here left open, in particular, the extension to the log-terminal or log-canonical orbifolds.

A survey in English with some additional results on relationships with the LMMP will appear in the volume of the Schiermonnikoog Conference.

Keywords

classification birationnelleorbifolde spécialecoeurcourbe orbifolde rationnellebirational classificationspecial orbifoldcore fibrationorbifold rational curve

MSC classification

Secondary: 11G05: Elliptic curves over global fields 14E30: Minimal model program (Mori theory, extremal rays) 32J25: Transcendental methods of algebraic geometry
Type
Research Article
Information
Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , Volume 10 , Issue 4 , October 2011 , pp. 809 - 934
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 2010

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