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La logique des topos

  • André Boileau (a1) and André Joyal (a1)

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Les synthèses nouvelles par le rapprochement de disciplines mathématiques différentes constituent des événements remarquables dans l'histoire des mathématiques. Une telle synthèse semble émerger actuellement du rapprochement de:

(1) La géométrie algébrique sous la forme élaborée par Grothendieck.

(2) La logique formelle.

Le point de contact s'est effectué aux environs de 1970 par W. Lawvere et M. Tierney et l'instrument de rapprochement a été la théorie des catégories, plus particulièrement la théorie des faisceaux. Depuis ce moment, une dialectique incessante imprime un mouvement dynamique à toute une série de recherches qui visent à rapprocher les méthodes suivantes:

(1) Mathématique intuitionniste.

(2) Forcing de Cohen et Robinson.

(3) Logique algébrique.

(4) Géométrie algébrique.

(5) Géométrie différentielle et analytique.

(6) Topologie algébrique: cohomologie, homotopie.

(7) Théorie de Galois.

Certains rapprochements sont dans un stade avancé, d'autres encore embryonnaires: (6) ↔ (3).

La structure centrale qui joue le rôle d'élément provocateur et unificateur est celle de topos. Avant d'être axiomatisée par Lawvere, celle-ci a été étudiée systématiquement par l'école de Grothendieck (voir [1]) et c'est dans le contexte de la géométrie algébrique qu'elle fit son apparition. Dans cet article nous utiliserons cependant la définition de Lawvere telle qu'améliorée par Mikkelsen [12] et Kock [8].

Le but de ce travail est de présenter une version (au sens de la logique formelle) du concept de topos et d'examiner brièvement les rapports entre la théorie des topos, la logique et les mathématiques. Cette version a déjà été exposée par l'un des auteurs lors du Séminaire de Mathématiques Supérieures de l'Université de Montréal, à l'été 1974. Depuis elle a fait l'objet d'une thèse où elle a été améliorée et sa cohérence vérifiée [2]. Des systèmes différents ont été proposés simultanément par Fourman [4] et Coste [3].

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References

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[1]Artin, M., Grothendieck, A. et Verdier, J. L., Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie, S.G.A. 4, Lecture Notes in Mathematics, vols. 269, 270 et 305, Springer-Verlag, Berlin et New York, 1972 et 1973.
[2]Boileau, André, Types versus topos, Thèse.de doctorat, Université de Montréal, 1976
[3]Coste, Michel, Logique d'ordre supérieur dans les topos élémentaires, Séminaire Bénabou Paris, 1974.
[4]Fourman, Michael, The logic of topoi, Ph.D. Thesis, Oxford, 1974.
[5]Freyd, Peter, Aspects of topoi, Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 1 (1972), pp. 176 et 467–480.
[6]Johnstone, Peter, Topos theory, Academic Press, London, New York, San Francisco, 1977.
[7]Kleene, Stephen C., Introduction to metamathematics, North-Holland, Amsterdam et Londres, American Elsevier, New York, 1952.
[8]Kock, A. et Mikkelsen, Ch. J., Topos-theoretic factorization of non-standard extensions, Victoria Symposium ou Non-Standard Analysis, Lecture Notes in Mathematics, vol. 369, Springer-Verlag, Berlin et New York, 1974.
[9]Kock, A. et Wraith, G., Elementary toposes, Lecture Notes Series, no. 30, Aarhus Universitet, Aarhus, 1971.
[10]Lawvere, W., Introduction, Toposes, Algebraic Geometry and Logic, Lecture Notes in Mathematics, vol. 274, Springer-Verlag, Berlin et New York, 1972.
[11]Makkai, M. et Reyes, G., First order categorical logic: model theoretic methods in the theory of topoi and related categories, Lecture Notes in Mathematics, vol. 611, Springer-Verlag, Berlin et New York, 1977.
[12]Mikkelsen, Ch. J., Characterization of an elementary topos, Conférence à Oberwolfach, 1972.
[13]roch, Ouellet, Axiomatisation de la logique interne du premier ordre des topos, version inclusive et multisorte, Thèse de doctorat, Université de Montréal, 1974.
[14]Rousseau, Christiane, Topos theory and complex analysis, Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 10 (1977), pp. 299313.
[15]Scott, Dana, Extending the topological interpretation to intuitionistic analysis, Compositio Mathematica, vol. 20 (1968), pp. 194210.

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