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Adjusting Two-Dimensional Velocity Data to Obey Continuity

Abstract

An algorithm is developed for adjusting glacier surface-velocity vectors, given on the nodes of a square grid, so that they obey a central-difference approximation of the continuity equation. Also required on the grid nodes are the glacier thickness, the ratio of the surface-velocity to the average velocity in the column, and the difference between the mass balance and the thickness change. All these other variables are assumed to be known exactly, and only the surface-velocity field is adjusted. The result is optimum in the sense that the magnitude of the adjustment is minimized. Either the relative or the absolute adjustment can be minimized, depending on how weights are specified. No restriction is placed on the shape of the solution region, and no boundary condition is required. The algorithm is not iterative. The algorithm first forms a parallel flow field that satisfies the continuity equation, and then uses a stream function to add a divergenceless field to it. The stream function that leads to the minimum velocity adjustment is obtained as four independent, interlacing solutions covering the solution region. For each of the four, a well-conditioned, sparse-matrix system of simultaneous linear equations is solved. A compact, sub-optimum, well-behaved iterative procedure is also developed for transforming part of the velocity adjustment into an adjustment of the thickness field.

Résumé

On développe un algorithme qui permet d’ajuster des vecteurs vitesse superficielle donnés aux noeuds d’une grille carrée de manière à ce qu’ils obéissent à un schéma aux différences centrées de l’équation de continuité. Pour ce faire, il faut également connaitre aux noeuds de la grille l’épaisseur du glacier, le rapport entre la vitesse en surface et la vitesse moyenne sur une verticale ainsi que la différence entre bilan de masse et variation d’épaisseur. Toutes ces variables sont supposées parfaitement connues et seul le champ de vitesse superficielle est ajusté. L’optimisation est réalisée en minimisant la valeur de l’ajustement. On peut, en spécifiant les poids respectifs, minimiser les valeurs d’ajustements relatives ou absolues. La forme de la région soumise au calcul peut être quelconque, aucune condition aux limites n’est nécessaire et l’algorithme n’est pas itératif. L’algorithme construit d’abord un champ de vitesses parallèles satisfaisant l’équation de continuité puis, utilisant une fonction de courant, lui ajoute un champ à divergence nulle. La fonction de courant correspondant à l’ajustement minimal des vitesses est obtenue comme combinaison de quatre solutions indépendantes couvrant la région. Pour chacune des quatre solutions, on résoud un système linéaire dont la matrice est creuse et bien conditionnée. Une procédure itérative compacte, sub optimale, stable et convergente est également développée afin de transformer une partie de l’ajustement cinématique en un ajustement des épaisseurs.

Zusammenfassung

Es wird ein Rechenverfahren zur Einpassung von oberflächlichen Geschwindigkeitsvektoren in den Schnittpunkten eines Quadratnetzes auf eine zentral-differentielle Annäherung der Kontinuitätsgleichung entwickelt. In den Netzpunkten werden weiter benötigt: die Gletscherdicke, das Verhältnis zwischen der Oberflächengeschwindigkeit und der mittleren Geschwindigkeit in der Säule und die Differenz zwischen der Massenbilanz und der Dickenänderung. Diese Parameter werden als fehlerfreie Grössen betrachtet, so dass sich die Einpassung nur auf das oberflächliche Geschwindigkeitsfeld erstreckt. Das Ergebnis ist insofern optimal, als die Einpassung minimiert wird. Dies kann entweder mit der relativen oder der absoluten Ausgleichung geschehen – je nach der Gewichtsfestsetzung. Die Form des Lösungsbereiches unterliegt keinen Einschränkungen; eine Randbedingung wird nicht benötigt. Der Algorithmus ist nicht iterativ. Der Algorithmus erzeugt zuerst ein paralleles Strömungsfeld, das die Kontinuitätsgleichung erfüllt, und zieht dann eine Strömungsfunktion zur Addition eines divergenzfreien Feldes heran. Die Strömungsfunktion, die zur Ausgleichung der Geschwindigkeiten führt, wird aus 4 unabhängigen, verknüpften Lösungen, die den Lösungsbereich überdecken, gewonnen. Für jede der 4 ist ein gut konditioniertes Matrizen-System für gleichzeitige lineare Gleichungen zu lösen. Ein kompaktes, nicht ganz optimales, aber günstiges Iterationsverfahren zur Transformation eines Teiles der Geschwindigkeitsausgleichung in eine Ausgleichung des Dickenfeldes wird ebenfalls vorgeführt.

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