2 Par ex. l'arithmétique élémentaire comporte comme prédicats primitifs les suivants:

+, ×, S, O,

que l'on construit en général plutôt comme des foncteurs que comme des prédicats; la notation ou le langage de cette théorie est l'ensemble L suivant: L = { +, ×, S, O}, et les axiomes sont indiqués dans la littérature. On dit que cette théorie a un langage formel L qui comporte, outre les variables, quanteurs et connecteurs de la logique, les quatre signes spécifiques qu'on a exhibés. Tout prédicat ou fonction susceptible de figurer dans les énoncés de l'arithmétique est forcément composé de symboles de L, de variables, et de signes logiques.

On dit parfois que la théorie des groupes et l'arithmétique ont des langages formels de quantification différents, etc. Quine regarde une langue naturelle comme un langage de quantification non formel.

3 Ce qui précède doit faire paraitre plus naturelle l'idée de Davidson de considérer une théorie du vrai comme un manuel de traduction. (2) est une définition partielle de la vérité dans le cadre d'une théorie hétérophonique du vrai. Pour servir de manuel de traduction, une théorie du vrai doit être détournée de sa fin naturelle, qui est de définir « vrai ». Davidson doit supposer que « vrai » a déjà un sens. Tarski supposait données des traductions et définissait la vérité.

4 Le fruit de cette méthode est qu'elle permet dééliminer « = » dans chaque langage du premier ordre dont le lexique est fini. Cela rend possible de faire rentrer le cas d'un langage quantificationnel égalitaire dans le cadre d'un langage quantificationnel pur, pour lequel les definitions du chap. 4 s'appliquent.

Cependant lorsque Quine arguë de la complétude de la TQ égalitaire, il s'agit de l'égalité en général. Or à ce moment-là, la notion de vérité logique entendue comme le vrai sous toutes les substitutions est hors de cause, parce que, comme on l'a vu, elle donnerait rang de vérités logiques à des phrases qui ne comptent pas pour telles en TQ égalitaire.

5 Cela doit évoquer une situation familière : comment départager attribution de croyances à autrui et attribution d'un sens aux mots d'autrui ? De même, comment départager ce qui est reconnaissance de principes logiques différents et ce qui est simple modification du sens des opérateurs logiques ? Cf. l'indétermination de la traduction.

6 Putnam (op. cit. 2, p. 51) a souligné l'improbabilité qu'un changement de notation suffise à modifier un systeme d'inférences et notamment à en bloquer certaines qui demeurent impossibles, même après adjonction de définitions.

7 Sur le problème de savoir si l'adoption d'une logique quantique constitue un changement de signification, lire Putnam, op. cit., 1, n° 10p. 174–97.

8 Que la traduction soit indéterminée peut compter pour un signe de leur inséparabilité.

9 I.e. le principe que la signification d'un énoncé est la différence que sa vérité ou sa fausseté font pour l'expérience possible (PL p. 14, RO essai 3 etc).

10 Si ce caractere obvie avait quelque consistance, jamais aucun raisonnement incorrect ne trouverait le moindre crédit. De plus la notion de vérité logique n'est pas décidable. Enfin leur caractère obvie ne distingue pas les vérités logiques des autres vérités: elles sont sur le même pied que l'énonciation de « Il pleut » quand il pleut (p. 143 al. 1).

11 Loc. cit. p. 90.

12 Pour l'expérience il n'y a pas de différence entre un schème conceptuel inaccessible et quelque chose qui ne serait pas un schème conceptuel du tout. Une langue que nous échouerions à traduire ne se différencie pas de l'absence de langue. Entre ces deux eventualités : que nos hypothèses d'analyse sont inadéquates, et que les sons émis par l'entité étrangère ne sont que des bruits, rien ne permet de trancher. Si on admettait l'idée de langage intraduisible, on devrait aussi attribuer un langage intraduisible à n'importe quel objet qui émet des sons. Je ne sais rien de plus passionnant, sur ces sujets, que la lecture de Rorty, R., «The World Well Lost», J. Philos. 69, 1972.CrossRefGoogle Scholar

13 (Juin 1977) Des étudiants m'ont fait part des difficultés qu'ils rencontraient dans PL. Le désir de rendre service à certains lecteurs de Quine m'a incité à publier ces notes, en dépit de leur faible intérêt.

Grandy, R.E. (Journal of Symbolic Logic, 40 n^o4, 1975, p. 587–8)CrossRefGoogle Scholar note que le chapitre 6 de PL est le plus intéressant et le plus controversable de tout le livre, et il regrette que les analyses techniques n'y soient pas plus poussées. Notamment Quine omet de préciser que la logique intuitioniste a une caractérisation en termes de tables de vérité à une infinité de valeurs (Gödel 1932 a montré que les connecteurs intuitionistes ne peuvent pas se traiter sur la base d'un nombre fini de valeurs de vérité). Sur l'interprétation des connecteurs propositionnels intuitionistes, Quine passe sous silence la sémantique de Kripke (cf. PL p. 130), sans doute parce qu'il pense que la construction de modèles renseigne sur la consistance et n'apporte pas de clarté philosophique. – En ce qui concerne les quanteurs intuitionistes, il est sans doute difficile de pénétrer leur signification sans étudier l'Analyse intuitioniste (principes de choix et de continuité).

Il est vraisemblable que Quine insiste trop fortement sur le caractère unique de la logique classique et sur le caractère déviant (ou quasi-pathologique) des logiques non-standard. De plus l'esprit du livre est contraire au constructivisme en mathématiques, malgré les déclarations superficielles de sympathie (cf. p. 130 al. 2). Il n'est pas exclu qu'un jour les mathématiques classiques apparaissent comme un cas particulier sur une échelle de degrés de constructivisme, auquel cas elles auront perdu leur position privilégiée. Ce qui rend probable cette éventualité, c'est qu'il est déjà possible de donner un sens constructif à des questions qui classiquement n'en ont pas ou bien sont triviales, et que les démonstrations constructives de résultats classiques, quand il en existe, procurent un surcroît d'information (cf. p. 130, dernières lignes). Si on devait compter les mathématiques classiques pour un cas spécial dans une hiérarchie de degres de constructivité, la problématique de Quine sur le normal, le déviant, et la mutilation minimum, en serait frappée de caducité. Il est clair qu'à ses yeux les mathématiques constructives sont aux classiques comme l'anecdote est à l'histoire. A Quine est applicable la remarque de Bishop : « Certaines gens condamnent les mathématiques constructives au rôle d'éboueur. Ils considèrent que les mathématiques classiques ont établi les grandes lignes du dessin et les cadres de l'intelligence imaginative, laissant aux constructivistes le soin d'y ajouter les enjolivures conformes à leurs credos ». Sur les rapports entre classicisme et constructivisme, « Mathematics as a Numerical Language » de Bishop (in Myhill, , Kino, , Vesley, ed. Intuitionism and Proof Theory, 1970, North HollandGoogle Scholar) contient des pages profondes.