En 1914, Littlewood a montré, contre l'opinion courante à l'époque, qu'il existe
des valeurs de x pour lesquelles le nombre de nombres premiers
inférieurs à x, π(x),
dépasse le logarithme intégral de x, li x.
Plus précisément, il a établi que, pour un
K>0 convenable, il existe une infinité de valeurs de x pour lesquelles
formula here
et aussi [1] une infinité de valeurs de x pour lesquelles
formula here
En 1937, Beurling a instauré une nouvelle manière de considérer les problèmes sur
les nombres premiers, en introduisant les ‘nombres premiers
généralisés’ [2]. L'idée
est de partir d'une fonction croissante P(x) (x[ges ]0),
nulle sur [0, 1], qui joue le rôle de
π(x). On lui associe la fonction dzeta et la fonction croissante
N(x) (qui joue le rôle
de la partie entière de x) selon la formule
formula here
l'hypothèse est toujours que les intégrales ci-dessus existent lorque
σ>1 (s = σ+it).
Le but de Beurling est, partant de propriétés convenables
de la fonction N(x),
d'obtenir pour P(x) le ‘théorème des nombres
premiers’, P(x) ∼ li x (x → ∞). Nous
allons, au contraire, partir d'une hypothèse simple sur
P(x) (par exemple, P(x) < li x)
et en tirer des conséquences pour la fonction ζ(x),
en laissant de côté la fonction N(x).
Bien entendu, nous verrons en passant que l'hypothèse
P(x) < li x est incompatible
avec le fait que ζ(s) soit la fonction dzeta de Riemann.
Il sera commode d'associer à la fonction ζ(s) la fonction
formula here
elle aussi définie pour σ > 1. Ainsi
formula here
Nous nous servirons seulement des deux faits suivants.