Skip to main content Accessibility help

We use cookies to distinguish you from other users and to provide you with a better experience on our websites. Close this message to accept cookies or find out how to manage your cookie settings.

Close cookie message
×
  1. Home
  2. Books
  3. Complex Multiplication
  • Cited by 17
Publisher:
Cambridge University Press
Online publication date:
August 2010
Print publication year:
2010
Online ISBN:
9780511776892
DOI:
https://doi.org/10.1017/CBO9780511776892
Subjects:
Mathematics (general), Mathematics, Number Theory
Series:
New Mathematical Monographs (15)
Information

Book description

This is a self-contained 2010 account of the state of the art in classical complex multiplication that includes recent results on rings of integers and applications to cryptography using elliptic curves. The author is exhaustive in his treatment, giving a thorough development of the theory of elliptic functions, modular functions and quadratic number fields and providing a concise summary of the results from class field theory. The main results are accompanied by numerical examples, equipping any reader with all the tools and formulas they need. Topics covered include: the construction of class fields over quadratic imaginary number fields by singular values of the modular invariant j and Weber's tau-function; explicit construction of rings of integers in ray class fields and Galois module structure; the construction of cryptographically relevant elliptic curves over finite fields; proof of Berwick's congruences using division values of the Weierstrass p-function; relations between elliptic units and class numbers.

Reviews

'… Complex Multiplication is not just a brilliant and timely monograph but a very well-written and comprehensive compendium of the topics that have interested the author throughout his research career. He has definitely succeeded in translating his rich experience, gained over the years, into a book that is well suited for the independent serious student while being an excellent reference work for the experienced number theorist and a lively celebration of Weber's Lehrbuch der Algebra, one of the great books of mathematics.'

Source: Mathematical Reviews

'This book gives a self-contained exposition of classical complex multiplication together with recent results.'

Source: Zentralblatt MATH

Refine List

Actions for selected content:

Select all | Deselect all
  • View selected items
  • Export citations
  • Download PDF (zip)
  • Save to Kindle
  • Save to Dropbox
  • Save to Google Drive

Save Search

You can save your searches here and later view and run them again in "My saved searches".

Please provide a title, maximum of 40 characters.
Cancel
×

Contents

Contents
References
References
References
A., Agboola, Torsion points on elliptic curves and Galois module structure, Invent. Math. 123 (1996), 105–122.
E.J., Gòmez Ayala and R., Schertz, Eine Bemerkung zur Galoismodulstruktur in Strahlklassenkörpern über imaginär-quadratischen Zahlkörpern, J. Number Theory 44, No 1 (1993), 41–46.
W.E., Berwick, Modular invariants expressible in terms of quadratic and cubic irrationalities, Proceedings of the London Mathematical Society 28, Ser. 2 (1927), 53–69.
S., Bettner, Beweis der Kongruenzen von Berwick sowie deren Verallgemeinerung und weitere Anwendungen von Torsionspunkten auf elliptischen Kurven. Augsburger Schriften zur Mathematik, Phys. Inform. 8 (2004).
S., Bettner and R., Schertz, Lower powers of elliptic units, J. Théor. Nombres Bordeaux 13 (2001).
B.J., Birch, Weber's class invariants, Mathematika 16 (1969), 283–294.
W., Bley, Konstruktion von Ganzheitsbasen in abelschen Erweiterungen imaginär-quadratischer Zahlkörper, J. Number Theory 46, (1994), 334–371.
W., Bley, Galois module structure and elliptic functions, J. Number Theory 52 (1995), 216–242.
J., Cassels, A note on the division polynomials of ℘(u), Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 45 Pt 2 (1949), 167–172.
Ph., Cassou-Noguès and M.J., Taylor, Elliptic Functions and Rings of Integers, Birkhäuser (1987).
J., Cougnard and V., Fleckinger, Sur la monogénéité de l'anneau des entiers de certain corps de rayon, Manu. Math. 63 (1989), 365–376.
M., Deuring, Die Klassenkörper der Komplexen Multiplikation, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften Band I, 2. Teil, Heft 10, Teil II (1958).
D., Dorman, Prime factorization of singular moduli, thesis, Brown (1984).
A., Enge and F., Morain, Comparing invariants for class fields of imaginary quadratic fields, Springer Lecture Notes in Computer Science 2369 (2002).
A., Enge, The complexity of class polynomial computation via floating point approximations, Math. Comput. 78 (2009).
A., Enge and R., Schertz, Constructing elliptic curves over finite fields using double eta-quotients, J. Théor. Nombres Bordeaux 16 (2004), 555–568.
A., Enge and R., Schertz, Constructing elliptic curves from modular curves of positive genus, J. Théor. Nombres Bordeaux (2004).
A., Enge and R., Schertz, Modular curves of composite level, Acta Arithmetica 118, No 2 (2005), 129–141.
A., Enge and R., Schertz, Doppelte Eta-Quotienten im verzweigten Fall, preprint.
V., Fleckinger, Modèle de Deuring et monogénéité des anneaux d'entiers des corps de rayon d'un corps quadratique imaginaire dans le cas “3 ramifié”, Publ. Sci. Besancon, (1987–8).
D., Freeman, M., Scott and E., Teske, A taxonomy of pairing-friendly elliptic curves (2006), Cryptology ePrint Archive 2006/372, http://eprint.iacr.org/2006/372/; to appear in J. Crypt.
R., Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, I, II Teubner (1916, 1922).
R., Fueter, Vorlesungen über die singulären Moduln und die Komplexe Multiplikation elliptischer Funktionen I, II, Teubner (1924, 1927).
B.H., Gross and D.B., Zagier, On singular moduli, J. für die Reine und Angewandte Math. 355 (1985), 191–220.
F., Hajir, Unramified elliptic units, Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Mathematics (1993).
F., Halter-Koch, Geschlechtertheorie der Ringklassenkörper, J. für die Reine und Angewandte Math. 250 (1971), 107–108.
H., Hasse, Neue Begründung der Komplexen Multiplikation I, II, J. für die Reine und Angewandte Math. 157, 165, (1927, 1931), 115–139, 64–88.
H., Hasse, Zum Hauptidealsatz der komplexen Multiplikation, Monatshefte für Math. und Phys. 38, (1931), 315–322.
H., Hasse, Nicht veröffentlichte Durchführung des Beweises für die Riemannsche Vermutung in Kongruenzfunktionenkörpern vom Geschlecht 1 mittels der Methoden aus der Komplexen Multiplikation, Marburg (1933) (scientific estate).
H., Hasse, Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper, Berlin, Akademie-Verlag (1952).
H., Hayashi, On elliptic units and class number of a certain non-galois number field, Manu. Math. 45, No 1 (February, 1983), 13–27.
H., Hayashi, On elliptic units and class number of certain dihedral extensions of degree 2l, Acta Arith. XLIV (1984), 35–45.
H., Hayashi, On index formulas of Siegel units in a ring class field, Acta Arith. XLVII (1986).
K., Heegner, Diophantische Analysis und Modulfunktionen, Math. Zeitschrift 56 (1952), 227–253.
D., Kersey, The index of modular units in complex multiplication, Yale thesis (1980).
M., Klebel, Zur Theorie der Potenzganzheitsbasen bei relativ galoisschen Zahlkörpern, Dissertation, Augsburg (1995).
S., Lang, Elliptic Functions, Addison-Wesley (1970).
S., Lang, Elliptic Curves Diophantine Analysis, Springer-Verlag (1978).
H.W., Leopoldt, Über Einheitengruppe und Klassenzahl reeller Zahlkörper, Abh. der Deutschen Akad. Wiss. Berlin, Akademie-Verlag, Berlin (1954).
H.W., Leopoldt, Über die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abelschen Zahlkörpers, J. für die Reine und Angewandte Mathematik 209 (1962), 54–71.
R., Limmer, Konstruktion von vollständigen Einheitengruppen mit Hilfe der Weierstrass'schen σ- und ℘-Funktion, Augsburger Mathematisch-Naturwissenschaftliche Schriften Bd 2 (1994).
C., Meyer, Die Berechnung der Klassenzahl abelscher Körper über quadratischen Zahlkörpern, Akademie Verlag, Berlin (1957).
C., Meyer, Über einige Anwendungen Dedekindscher Summen, J. für die Reine und Angewandte Mathematik 198, (1957), 143–203.
C., Meyer, Bemerkungen zum Satz von Heegner-Stark über die imaginä-quadratischen Zahlkörper mit der Klassenzahl Eins, J. für die Reine und Angewandte Mathematik 242 (1970), 179–214.
C., Meyer, Zur Theorie und Praxis der elliptischen Einheiten, Ann. Uni. Sarveniensis Series Math. 6 No 2 (1995).
F., Morain, Computing the cardinality of CM elliptic curves using torsion points. J. Théor. Nombres Bordeaux 19, No 3 (2007), 663–681.
K., Nakamula, Class number calculation and elliptic unit. I, II, III. Proceedings of Japan Academy, 57A, 56–59, 117–120, 363–366 (1981).
K., Nakamula, Class number calculation of a cubic field from the elliptic unit, J. Reine Angew. Math. 331 (1982), 114–123.
K., Nakamula, Calculation of the class numbers and fundamental units of abelian extensions over imaginary quadratic fields from approximate values of elliptic units, J. Math. Soc. Jap. 37, No 2 (1985).
K., Nakamula, Class number calculation of a quartic field from the elliptic unit, Acta Arith. 45 (1985) 215–227.
K., Nakamula, Class number calculation of a sextic field from the elliptic unit, Acta Arith. 45 (1985) 229–247.
G., Pappas, On torsion line bundles and torsion points on abelian varieties, Invent. Math. 133 (1998), 193–225.
K., Ramachandra, Some applications of Kronecker's limit formulae, Ann. Math. 236 (1969), 104–148.
K., Ramachandra, On the class number of relative abelian fields, J. Reine Angewandte Math. 236 (1969), 1–10.
I., Reiner, Maximal Orders, Academic Press, London (1975).
G., Robert, Unités elliptiques, Bul. Soc. Math. France, Mémoire No 36 (1973).
K., Rubin and A., Silverberg, Choosing the correct elliptic curve, preprint, http://eprint.iacr.org/2007/253.
K., Rubin and A., Silverberg, Point counting on reductions of CM elliptic curves, preprint, http://arxiv.org/abs/0706.3711.
R., Schertz, Über die Klassenzahl gewisser nicht galoisscher Körper 6-ten Grades, Hamburger Abh. 42 (1974), 217–227.
R., Schertz, Die Klassenzahl der Teilkörper abelscher Erweiterungen imaginär-quadratischer Zahlkörper, Teil I, J. Reine Angew. Math. 295 (1977), 151–168, Teil II, J. Reine Angew. Math. 296, (1977), 58–79.
R., Schertz, Zur Theorie der Ringklassenkörper über imaginär-quadratischen Zahlkörpern, J. Number Theory 10, No 1 (1978), 70–82.
R., Schertz, Teilkörper abelscher Erweiterungen imaginär-quadratischer Zahlkörper, deren Klassenzahl durch Primteiler des Körpergrades teilbar ist, J. Reine Angew. Math. 302 (1978), 59–69.
R., Schertz, Niedere Potenzen von Ringklasseneinheiten, Research Institute for Mathematical Sciences Kokyuroku 603, Kyoto Univ, Kyoto Japan (1986), 21–34.
R., Schertz, Konstruktion von Ganzheitsbasen in Strahlklassenkörpern über imaginär-quadratischen Zahlkörpern, J. Reine Angew. Math. 398 (1989), 105–129.
R., Schertz, Zur expliziten Berechnung von Ganzheitsbasen in Strahlk-lassenkörpern über einem imaginär-quadratischen Zahlkörper, J. Number Theory 34, No 1, (1990), 41–53.
R., Schertz, Über die Nenner normierter Teilwerte der Weierstraßschen ℘-Funktion, J. Number Theory 34, No 2, (1990), 229–234.
R., Schertz, Galoismodulstruktur und elliptische Funktionen, J. Number Theory 39, No 3, (1991), 285–326.
R., Schertz, An elliptic resolvent, J. Number Theory 77 (1999), 97–121.
R., Schertz, Weber's class invariants revisited, J. Théorie Nombres Bordeaux 14 (2002), 325–343.
R., Schertz, Global construction of associated orders in complex multiplication, J. Number Theory 111 (2005) 197–226.
R., Schertz, On the gerneralized principal ideal theorem of complex multiplication, J. Théorie Nombres Bordeaux 18 (2006), 683–691.
B., Schöneberg, Elliptic Modular Functions, Grundlehren der Math. Wiss. Bd. 203 Springer (1974).
R., Schoof, The exponents of the groups of points on the reductions of an elliptic curve, Arithmetic Algebraic Geometry, Birkhäuser, Boston (1991).
G., Shimura, Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1971).
C.L., Siegel, Zum Beweise des Starkschen Satzes, Invent. Math. 5 (1968), 180–191.
J., Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Text in Mathematics 106 (1985).
H., Söhngen, Zur Komplexen Multiplikation, Math. Ann. 111 (1935), 102–328.
A., Srivastav and M.J., Taylor, Elliptic curves with complex multiplication and Galois module structure, Invent. Math. 99 (1990), 165–184.
H.M., Stark, A complete determination of the complex quadratic fields of class number one. Michigan Math. J. 14 (1967) 1–27.
H.M., Stark, On the ‘Gap’ in a theorem of Heegner, J. Number Theory 1 (1969), 16–27.
H.M., Stark, L-functions at s = 1. IV. First derivatives at s = 0, Adv. Math., 35, No 3 (1980), 197–235.
H.M., Stark, Counting points on CM elliptic curves, Rocky Mountain J. Math. 26 (1996), 1115–1138.
M.J., Taylor, Mordell-Weil Groups and the Galois Module Structure of Rings of Integers, Illinois J. Math. 32 No 3, (1988), 428–452.
M., Verant, Monogénéité de l'anneau des entiers de certains corps de classes de corps quadratiques, L'U.F.R. des sciences et techniques de l'Université de Franche-Comté 179 (1990), 66–102.
H., Weber, Lehrbuch der Algebra III, Neudruck der 2. Auflage, Chelsea, New York (1908).
A., Weng, A class of hyperelliptic CM-curves of genus three, J. Ramanujan Math. Soc. 16, No 4 (2001), 339–372.
A., Weng, Constructing hyperelliptic curves of genus 2 suitable for cryptography, Math. Comput. 72 No 241 (2003), 435–458.

Metrics

Altmetric attention score

Full text views

Total number of HTML views: 0
Total number of PDF views: 0 *
Loading metrics...

Book summary page views

Total views: 0 *
Loading metrics...

* Views captured on Cambridge Core between #date#. This data will be updated every 24 hours.

Usage data cannot currently be displayed.