Etant donné un opérateur T sur un espace LP (1 < p < ∞), la théorie ergodique s'intéresse à la convergence presque sûre des moyennes de Césaro
![](//static.cambridge.org/content/id/urn%3Acambridge.org%3Aid%3Aarticle%3AS0008414X00000158/resource/name/S0008414X00000158_eq1.gif?pub-status=live)
des itérés d'un point f de Lp par T. On dit que T vérifie le théorème ergodique si cette convergence a lieu pour tout f de Lp.
Parmi les nombreux résultats sur cette question (cf. [21]) nous citerons d'abord ceux de A. Ionescu-Tulcea ([19]) et R. Chacon-S. A. McGrath
([10]) que l'on peut réunir dans l'assertion suivante:
“Si 1 < p < ∞ et T une isométrie positive de Lp, ou si 1 < p ≠ 2 < ∞ et si T est une isométrie surjective de Lp, alors T vérifie le théorème ergodique”.
Nous nous intéressons ici à une version vectorielle de ce théorème. Plus précisément, si X est un espace de Banach réel, un opérateur linéare T sur l'espace LP(X) est dit vérifier le théorème ergodique vectoriel si la suite des moyennes de Césaro
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converge presque sûrement en norme dans X, quel que soit f ∊ Lp(X).