Hostname: page-component-848d4c4894-pjpqr Total loading time: 0 Render date: 2024-07-03T09:36:59.447Z Has data issue: false hasContentIssue false
  • English
  • Français

Reflections on the Notion of Culture in the History of Mathematics: The Example of “Geometrical Equations”

Published online by Cambridge University Press:  30 August 2016

François Lê
François Lê*
Affiliation:
Université d'Artois, Laboratoire de mathématiques de Lens E-mail: francois.le10@gmail.com
Get access Rights & Permissions [Opens in a new window]

Argument

This paper challenges the use of the notion of “culture” to describe a particular organization of mathematical knowledge, shared by a few mathematicians over a short period of time in the second half of the nineteenth century. This knowledge relates to “geometrical equations,” objects that proved crucial for the mechanisms of encounters between equation theory, substitution theory, and geometry at that time, although they were not well-defined mathematical objects. The description of the mathematical collective activities linked to “geometrical equations,” and especially the technical aspects of these activities, is made on the basis of a sociological definition of “culture.” More precisely, after an examination of the social organization of the group of mathematicians, I argue that these activities form an intricate system of patterns, symbols, and values, for which I suggest a characterization as a “cultural system.”

Type
Research Article
Information
Science in Context , Volume 29 , Issue 3 , September 2016 , pp. 273 - 304
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 2016 

Access options

Get access to the full version of this content by using one of the access options below. (Log in options will check for institutional or personal access. Content may require purchase if you do not have access.)

References

Archibald, Tom, Peiffer, Jeanne, and Schappacher, Norbert, eds. 2012. Explicit Versus Tacit Knowledge in Mathematics. Report no. 04/2012. Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.CrossRefGoogle Scholar
Brechenmacher, Frédéric. 2007. “La controverse de 1874 entre Camille Jordan et Leopold Kronecker.” Revue d'histoire des mathématiques 13 (2):187–257.Google Scholar
Brechenmacher, Frédéric. 2011. “Self-Portraits with Évariste Galois (and the Shadow of Camille Jordan).” Revue d'histoire des mathématiques 17:271–369.Google Scholar
Brechenmacher, Frédéric. 2013. “The Algebraic Cast of Poincaré’s Méthodes Nouvelles de La Mécanique Céleste.” Preprint, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00821686.Google Scholar
Brill, Alexander. 1923. “Max Noether.” Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 32:211–33.Google Scholar
Brill, Alexander, Gordan, Paul, Klein, Felix, Lüroth, Jacob, Mayer, Adolph, Noether, Max, and von der Mühll, Karl. 1873. “Rudolf Friedrich Alfred Clebsch: Versuch einer Darlegung und Würdigung seiner wissenschaftlichen Leistungen.” Mathematische Annalen 7:1–55.Google Scholar
Cayley, Arthur. 1849. “On the Triple Tangent Planes of Surfaces of Third Order.” Cambridge and Dublin Mathematical Journal 4:118–32.Google Scholar
Chemla, Karine. 2009. “Mathématiques et culture: une approche appuyée sur les sources chinoises les plus anciennes.” In La Mathématique, 1. Les lieux et les temps, edited by Bartocci, Claudio and Odifreddi, Piergiorgio, 103–52. Paris: CNRS Éditions.Google Scholar
Clebsch, Alfred. 1868. “Ueber die Flächen vierter Ordnung, welche eine Doppelcurve zweiten Grades besitzen.” Journal für die reine und angewandte Mathematik 69:142–84.Google Scholar
Clebsch, Alfred. 1871. “Ueber die Anwendung der quadratischen Substitution auf die Gleichungen 5ten Grades und die geometrische Theorie des ebenen Fünfseits.” Mathematische Annalen 4:284–345.Google Scholar
Clebsch, Alfred. 1872. “Zum Gedächtniss an Julius Plücker.” Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen 16:1–40.Google Scholar
Collins, Harry. 2010. Tacit and Explicit Knowledge. Chicago, London: University of Chicago Press.CrossRefGoogle Scholar
Dickson, Leonard Eugene. 1901. Linear Groups with an Exposition of the Galois Field Theory. Leipzig: Teubner.Google Scholar
Ehrhardt, Caroline. 2012. Itinéraires d'un texte mathématique: les réélaborations des écrits d’Évariste Galois au xixe siècle. Paris: Hermann.Google Scholar
Fischer, Gerd. 1986. Mathematische Modelle. Braunschweig: Vieweg & Sohn.Google Scholar
Gauthier, Sébastien. 2007. “La géométrie des nombres comme discipline (1890–1945).” Ph.D. diss., Université Pierre et Marie Curie (Paris 6).Google Scholar
Gispert, Hélène. 1999. “Les débuts de l'histoire des mathématiques sur les scènes internationales et le cas de l'entreprise encyclopédique de Felix Klein et Jules Molk.” Historia Mathematica 26:344–60.Google Scholar
Goldstein, Catherine. 1999. “Sur la question des méthodes quantitatives en histoire des mathématiques: le cas de la théorie des nombres en France (1870-1914).” Acta historiae rerum naturalium necnon technicarum 3:187–214.Google Scholar
Goldstein, Catherine. 2007. “Du Rhin et des nombres: quelques réflexions sur l'usage de la notion de transfert culturel en histoire des mathématiques.” In Sciences et frontières: délimitations du savoir, objets et passages, edited by Hert, Philippe and Paul-Chevalier, Marcel, 342–76. Fernelmont: Éditions Modulaires Européennes.Google Scholar
Goldstein, Catherine, and Schappacher, Norbert. 2007. “A Book in Search of a Discipline (1801-1860).” In The Shaping of Arithmetic: After C. F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, edited by Goldstein, Catherine, Schappacher, Norbert, Schwermer, Joachim, 3–65. Berlin: Springer.Google Scholar
Herskovits, Melville J. 1948. Man and His Works: The Science of Cultural Anthropology. New York: A. A. Knopf.Google Scholar
Hesse, Otto. 1844. “Ueber die Wendepuncte der Curven dritter Ordnung.” Journal für die reine und angewandte Mathematik 28:97–107.Google Scholar
Hesse, Otto. 1847. “Algebraische Auflösung derjenigen Gleichungen 9ten Grades, deren Wurzeln die Eigenschaft haben, dass eine gegebene rationale und symmetrische Function θ(x λ, x μ) je zweier Wurzeln x λ, x μ eine dritte Wurzel xk giebt, so dass gleichzeitig: x χ = θ(x λ, x μ) , x λ = θ(x μ, x χ), x λ = θ(x μ, x χ).” Journal für die reine und angewandte Mathematik 34:193–208.Google Scholar
Hesse, Otto. 1897. Ludwig Otto Hesse's Gesammelte Werke. München: Verlag der K. Akademie.Google Scholar
Hölder, Otto. 1899. “Galois'sche Theorie mit Anwendungen.” In Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, vol. 1-1:480–520. Leipzig: Teubner.Google Scholar
Jordan, Camille. 1869a. “Sur la trisection des fonctions abéliennes et sur les vingt-sept droites des surfaces du troisième ordre.” Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences 68:865–69.Google Scholar
Jordan, Camille. 1869b. “Sur l’équation aux vingt-sept droites des surfaces du troisième degré.” Journal de Mathématiques pures et appliquées 14 (2):147–66.Google Scholar
Jordan, Camille. 1869c. “Sur les équations de la géométrie.” Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences 68:656–59.Google Scholar
Jordan, Camille. 1869d. “Sur une équation du 16ieme degré.” Journal für die reine und angewandte Mathematik 70:182–84.Google Scholar
Jordan, Camille. 1870a. “Sur une nouvelle combinaison des vingt-sept droites d'une surface du troisième ordre.” Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences 70:326–28.Google Scholar
Jordan, Camille. 1870b. Traité des substitutions et des équations algébriques. Paris: Gauthier-Villars.Google Scholar
Klein, Felix. 1870. “Zur Theorie der Linienkomplexe des ersten und zweiten Grades.” Mathematische Annalen 2:98–226.Google Scholar
Klein, Felix. 1871. “Ueber eine geometrische Repräsentation der Resolventen algebraischer Gleichungen.” Mathematische Annalen 4:346–58.Google Scholar
Klein, Felix. 1875. “Otto Hesse.” Bericht über die Königliche Polytechnische Schule zu München für das Studienjahr 1874–1875:46–50.Google Scholar
Klein, Felix. 1888. “Sur la résolution, par les fonctions hyperelliptiques, de l’équation du vingt-septième degré, de laquelle dépend la détermination des vingt-sept droites d'une surface cubique.” Journal de Mathématiques pures et appliquées 4:169–76.Google Scholar
Klein, Felix. 1921. Gesammelte mathematische Abhandlungen. Edited by Fricke, Robert and Ostrowski, Alexander. Vol. 1. Berlin: Springer.Google Scholar
Kohn, Gustav. 1908. “Ebene Kurven dritter und vierter Ordnung.” In Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, vol. 1-2-1:457–570. Leipzig: Teubner.Google Scholar
Kroeber, Alfred Louis, and Kluckhohn, Clyde. 1952. Culture: A Critial Review of Concepts and Definitions. Cambridge: Harvard University Press.Google Scholar
Kummer, Ernst Eduard. 1863. “Ueber die Flächen vierten Grades, auf welchen Schaaren von Kegelschnitten liegen.” Monatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 324–36.Google Scholar
Kummer, Ernst Eduard. 1864. “Ueber die Flächen vierten Grades, mit sechzehn singulären Punkten.” Monatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 246–59.Google Scholar
Larvor, Brendan P. 2012. “The Mathematical Cultures Network Project.” Journal of Humanistic Mathematics 2 (2):157–60.CrossRefGoogle Scholar
Lê, François. 2015a. “‘Geometrical Equations’: Forgotten Premises of Felix Klein's Erlanger Programm . Historia Mathematica 42 (3):315–42.Google Scholar
Lê, François. 2015b. “Vingt-sept droites sur une surface cubique: rencontres entre groupes, équations et géométrie dans la deuxième moitié du xix e siècle.” Ph.D. diss., Université Pierre et Marie Curie (Paris 6).Google Scholar
Lie, Sophus. 1872. “Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differential-Gleichungen.” Mathematische Annalen 5:145–256.Google Scholar
Maillet, Edmond. 1904. “Sur les équations de la géométrie et la théorie des substitutions entre n lettres.” Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6 (2):277–349.Google Scholar
Maschke, Heinrich. 1889. “Aufstellung des vollen Formensystems einer quaternären Gruppe von 51 840 linearen Substitutionen.” Mathematische Annalen 33:317–44.Google Scholar
Morin, Olivier. 2011. Comment les traditions naissent et meurent: la transmission culturelle. Paris: Odile Jacob.Google Scholar
Mullins, Nicholas C. 1972. “The Development of a Scientific Specialty: The Phage Group and the Origins of Molecular Biology.” Minerva 10 (1):51–82.Google Scholar
Nabonnand, Philippe, and Rollet, Laurent. 2002. “Une bibliographie mathématique idéale? Le Répertoire Bibliographique des Sciences Mathématiques.” Gazette des Mathématiciens 92:11–26.Google Scholar
Netto, Eugen. 1882. Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra. Leipzig: Teubner.Google Scholar
Neumann, Carl. 1872. “Zum Andenken an Rudolf Friedrich Alfred Clebsch.” Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität, 550–59.Google Scholar
Neumann, Olaf. 2007. “The Disquisitiones Arithmeticae and the Theory of Equations.” In The Shaping of Arithmetic: After C. F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, edited by Goldstein, Catherine, Schappacher, Norbert, Schwermer, Joachim, 107–127. Berlin: Springer.Google Scholar
Noether, Max. 1875. “Otto Hesse.” Zeitschrift für Mathematik und Physik 20:77–88.Google Scholar
Noether, Max. 1879. “Ueber die Gleichungen achten Grades und ihr Auftreten in der Theorie der Curven vierter Ordnung.” Mathematische Annalen 15:89–110.Google Scholar
Parshall, Karen Hunger. 2004. “Defining a Mathematical Research School: The Case of Algebra at the University of Chicago, 1892-1945.” Historia Mathematica 31:263–78.CrossRefGoogle Scholar
Parshall, Karen Hunger, and Rowe, David E.. 1994. The Emergence of the American Mathematical Research Community, 1876–1900: J. J. Sylvester, Felix Klein, and E. H. Moore. Providence: American Mathematical Society – London Mathematical Society.Google Scholar
Poncelet, Jean-Victor. 1832. “Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et des surfaces géométriques.” Journal für die reine und angewandte Mathematik 8:117–37.Google Scholar
Redfield, Robert, Linton, Ralph, and Herskovits, Melville J.. 1936. “Memorandum for the Study of Acculturation.” American Anthropologist 38 (1):149–52.Google Scholar
Rocher, Guy. 1968. Introduction à la sociologie générale. Vol. 1. L'action sociale. Montréal: HMH.Google Scholar
Roque, Tatiana. 2015. “L'Originalité de Poincaré en mécanique céleste: un réseau de textes employant la pratique des solutions périodiques.” Revue d'histoire des mathématiques 21:37–105.Google Scholar
Rowe, David E. 1989. “The Early Geometrical Works of Sophus Lie and Felix Klein.” In The History of Modern Mathematics, edited by McCleary, John and Rowe, David E., 209–73. Boston, San Diego, New York: Academic Press.Google Scholar
Rowe, David E. 2004. “Making Mathematics in an Oral Culture: Göttingen in the Era of Klein and Hilbert.” Science in Context 17 (1–2):85–129.Google Scholar
Rowe, David E. 2013. “Mathematical Models as Artefacts for Research: Felix Klein and the Case of Kummer Surfaces.” Mathematische Semesterberichte 60:1–24.Google Scholar
Salmon, George. 1849. “On the Triple Tangent Planes to a Surface of the Third Order.” Cambridge and Dublin Mathematical Journal 4:252–60.Google Scholar
Schappacher, Norbert, and Volkert, Klaus. 2005. “Heinrich Weber, un mathématicien à Strasbourg, 1895-1913.” In La Science sous influence: L'université de Strasbourg, enjeu des conflits franco-allemands, 1872–1945, edited by Crawford, Elisabeth and Olff-Nathan, Josiane. Strasbourg: La Nuée Bleue.Google Scholar
Segre, Beniamino. 1942. The Non-Singular Cubic Surfaces: A New Method of Investigation with Special Reference to Questions of Reality. Oxford: Clarendon Press.Google Scholar
Spencer-Oatey, Helen. 2012. What Is Culture? A Compilation of Quotations. http://www2.warwick.ac.uk/fac/soc/al/globalpad/openhouse/interculturalskills/ (last accessed April 16, 2014).Google Scholar
Stubhaug, Arild. 2002. The Mathematician Sophus Lie: It Was the Audacity of My Thinking. Berlin, Heidelberg, New York: Springer.Google Scholar
Tobies, Renate. 1981. Felix Klein. Leipzig: Teubner.Google Scholar
Tobies, Renate. 1994. “Mathematik als Bestandteil der Kultur: Zur Geschichte des Unternehmens Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . Mitteilungen der Österreichischen Gesellschaft für Wissenschaftsgeschichte 14:1–90.Google Scholar
Weber, Heinrich. 1896. Lehrbuch der Algebra. Vol. 2. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn.Google Scholar
Werner, Michel, and Zimmermann, Bénédicte, eds. 2004. De la comparaison à l'histoire croisée. Paris: Seuil.Google Scholar
Williams, Raymond. 1985. Keywords: A Vocabulary of Culture and Society. 2nd ed. New York: Oxford University Press.Google Scholar