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Note sur les opérations de Grothendieck et la réalisation de Betti

Part of: Homological algebra Categories and geometry (Co)homology theory

Published online by Cambridge University Press:  23 July 2009

Joseph Ayoub
Joseph Ayoub
Affiliation:
Institut für Mathematik, Universität Zürich, Winterthurerstrasse 190, CH-8057 Zürich, Switzerland, (joseph.ayoub@math.uzh.ch) and CNRS, LAGA Université Paris 13, 99 avenue J. B. Clément, 93430 Villetaneuse, France
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Abstract

The purpose of this note is to show that the Betti realization of motives is compatible with Grothendieck's six operations and the nearby cycles functors, which in the motivic world, were previously studied by the author. We first review the construction of the Betti realization. Then, we establish some general criteria which, applied to the Betti realization, give the compatibilities we seek except for the one concerning the nearby cycles functors. The latter will be treated in a separate section.

Résumé

Le but de cette note est de prouver que la réalisation de Betti des motifs est compatible avec les six opérations de Grothendieck et les foncteurs cycles proches qui, dans le monde motivique, ont été étudiés par l'auteur. On reprend d'abord la construction de la réalisation de Betti. On établit ensuite des critères abstraits qui, appliqués à la réalisation de Betti, fournissent les compatibilités souhaitées, sauf celle qui concerne les foncteurs cycles proches. Ces derniers seront traités dans une section à part.

Keywords

motifsréalisation de Bettiles six opérations de Grothendieckformalisme des cycles évanescentscatégories de modèlesmotivesBetti realizationsGrothendieck's six operationsvanishing cycles formalismmodel categories

MSC classification

Secondary: 14F25: Classical real and complex (co)homology 14F42: Motivic cohomology; motivic homotopy theory 18G55: Homotopical algebra 14F20: Étale and other Grothendieck topologies and (co)homologies 18F10: Grothendieck topologies 18F20: Presheaves and sheaves 18G10: Resolutions; derived functors
Type
Research Article
Information
Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , Volume 9 , Issue 2 , April 2010 , pp. 225 - 263
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 2010

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References

Références

1.Artin, M., Grothendieck, A. et Verdier, J.-L., Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4 III), en Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963–1964, Lecture Notes in Mathematics, Volume 305 (Springer, 1972).Google Scholar
2.Ayoub, J., Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monte motivique I, Astérisque, Volume 314 (2007).Google Scholar
3.Ayoub, J., Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monte motivique II, Astérisque, Volume 315 (2007).Google Scholar
4.Ayoub, J., Motifs de variétés analytiques rigides, preprint (2008; available at www.math.uiuc.edu/K-theory/0907).Google Scholar
5.Ayoub, J. et Zucker, S., Relative Artin motives and the reductive Borel–Serre compactification of a locally symmetric variety, preprint (2009; available at www.math.uiuc.edu/K-theory/0993).Google Scholar
6.Brown, K. S. et Gersten, S. M., Algebraic K-theory and generalized sheaf cohomology, Lecture Notes in Mathematics, Volume 341, pp. 266–292 (Springer, 1973).Google Scholar
7.Deligne, P. et Katz, N., Groupes de monodromie en géométrie algébrique (SGA 7 II), en Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1967–1969, Lecture Notes in Mathematics, Volume 340 (Springer, 1973).Google Scholar
8.Dugger, D., Hollander, S. et Isaksen, D., Hypercovers and simplicial presheaves, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 136 (2004), 9–51.CrossRefGoogle Scholar
9.Grauert, H. et Remmert, R., Coherent analytic sheaves, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 265 (Springer, 1984).CrossRefGoogle Scholar
10.Hironaka, H., Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, I, II, Annals Math. 2(79) (1964), 109–326.CrossRefGoogle Scholar
11.Kashiwara, M. et Schapira, P., Sheaves on manifolds, Comprehensive Studies in Mathematics, Volume 292 (Springer, 1994)Google Scholar
12.Morel, F. et Voevodsky, V., 1-homotopy theory of schemes, Publ. Math. IHES 90 (1999), 45–143.CrossRefGoogle Scholar
13.Riou, J., Catégorie homotopique stable d'un site suspendu avec intervalle, Bull. Soc. Math. France 135(4) (2007), 495–547.CrossRefGoogle Scholar
14.Saito, M., Mixed Hodge modules, Publ. RIMS Kyoto 26 (1990), 221–333.CrossRefGoogle Scholar