La théorie du bonus n'en est qu'à ses débuts et, afin d'en étudier une première approximation, Monsieur le Professeur Fréchet a utilisé la théorie des chaînes de Markoff-Poincaré; la première synthèse de cette théorie a été donnée dans son livre „Recherches théoriques modernes sur le calcul des probabilités — 2ème livre — Gauthier Villars”.

Nous trouvons que l'idée de Monsieur Fréchet, précisée dans un cadre bien défini d'hypothèses, est particulièrement intéressante et nous voudrions, quant à nous, essayer de dégager pour les actuaires les conséquences qu'une telle hypothèse introduit. On pourra en déduire une marche à suivre pour vérifier dans quelle mesure cette hypothèse cadre avec la réalité.

L'hypothèse fondamentale de Monsieur Fréchet consiste à admettre:

1°) l'existence d'une probabilité pour qu'un véhicule ayant eu i sinistres au cours de l'année calendrier, subisse j sinistres au cours de l'exercice suivant;

2°) que cette probabilité est indépendante de la voiture et de l'année considérée.

Si nous considérons les possibilités réduites à r = 3 cas (de façon à simplifier l'exposé, ce qui ne limite en rien le raisonnement), les possibilités seront complètement définies par le tableau ou matrice de la chaîne de Markoff-Poincaré (voir page suivante).

L'existence d'une chaîne de Markoff-Poincaré entraîne un certain nombre de conséquences, développées et démontrées dans l'ouvrage cité de Monsieur Fréchet.