Soit toujours u =f{x, y, z,…) une fonction de plusieurs variables indépendantesor, j,s,…; et désignonspar ϕ(x, y, z, …),χ(x, y, z,…), ψ(x, y, z, …), … ses dérivées partielles du premier ordre relatives à x, à y, à z, … Si I'on fait, comme dans la huitième Leçon,

puis que I'on différentie les deux membres de l’équation (I) par rapport à la variable α, on trouvera

Si, dans cette dernière formule, on pose α = o, on obtiendra la suivante

laquelle s'accorde avec l'equation (i 6) de la liuitieme Leçon. De plus, il résulte évidemment de la comparaison des équations (i) et (2) qu'en différential, par rapport à α, une fonction des quantités variables

on obtient pour derivee une autre fonction de ces quantités combinées d'une certaine manière avec les constantes dx, dy, dz, … De nouvelles différentiations, relatives à la variable α, devant procluire de nouvelles fonctions du même genre, nous sommes en droit de conclure que les expressions (4) seront les seules quantités variables renfermées, non seulement dans F(α) et. F′(a), mais aussi clans F″(α), F′″(α), …, et generalement dans F(n)(α), n désignant un nombre entier quelconque. Par suite, les différences

seront précisément égales aux accroissements que recoivent les fonctions de x, y, z, … representées par

lorsqu'on attribue aux variables indépendantes les accroissements infiniment petits αdx, αdy, αdz, …. Celaposé, commeonaF(o) = u, on trouvera successivement, en faisant converger α vers la limite zéro,

En résume, l'on aura

Ainsi, pour former les différentielles totales du, d2u, …, dnu, il suffira dc calculer les valeurs particulières que reçoivent les fonctions dérivées F′(α), F″(α), …, F(n)(α), dans le cas ou la variable α s’évanouit.