THÉORÈME DBS FONCTIONS HOMOGÈNES. MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.

On dit qu'une fonction de plusieurs variables est homogène lorsque, en faisant croître ou décroître toutes les variables dans un rapport donné, on obtient pour résultat la valeur primitive de la fonction multipliée par une puissance de ce rapport. L'exposant de cette puissance est le degré de la fonction homogène. En conséquence, ƒ(x, y, z, …) sera une fonction de x, y, z, … homogène et du degré a, si, t désignant une nouvelle variable, on a, quel que soit t,

Cela posé, le thèorème des fonctions homogenes peut s’énoncer comme il suit : Théoreme. — Si l'on multiplie les dériveées partielles d'une fonction homogène du degré a par les variables auocquelles elles se rapportent, la somme des produits ainsi formés sera équivalente à celui qu’ on obtiendrait en multipliant par a la fonction elle-même.

Démonstration. — Soient u = ƒ(x, y, z, …) la fonction donnée et ϕ(x, y, z, …), x(x, y, z, …), ψ(x, y, z, …), … ses dérivées partielles par rapport à x, à y, à z, etc.