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Études sur les règles d'inférence dites règles de Gentzen (II)

  • Hugues Leblanc (a1)

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Je vais traiter ici des inférences dont la validité tient au rôle qu'y jouent les cinq connecteurs « ⊃ », « ∼ », « & », « V » et « ≡ », les deux quantificateurs « ∀ » et « ∃ », et le signe d'identité « = ». Qu'on me permette de rappeler que les deux conjectures présentéd dans ma première étude se sont avéré'es justes. En premier lieu, toute règle de structure et toute règie d'élimination ou d'introduction pour « & » ou « V » qui vaut pour la logique classique des connecteurs vaut également pour la logique intuitionniste des connecteurs. En second lieu, tout énoncé du genre A1, A2, …, AnB qui vaut pour la logique classique des connecteurs peut s'obtenir exclusivement à l'aide des règles de structure R, P, E, S, et des règles d'elimination et d'introduction pour ceux des connecteurs « ⊃ », « ∼ », « & », « V » et « ≡ » qui figurent dans A1, A2, …, An, et B.

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1 Voir « Études sur les règies d'inférence dites règles de Gentzen, Première partie, » Dialogue, vol. I, no. 1 (1962), pp. 5666.

2 Voir à ce sujet « Proof routines for the propositional calculus », Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. IV, no. (1963). La première de mes deux conjectures a également été prouvée par D. H. J. de Jongh et par N. D. Belnap, Jr. et R. H. Thomason. Deux corrections à ma première étude s'imposent, l'une concernant la note 7 en page 58, l'autre la note 15 en page 64. Gentzen n'offre pas de règles de structure pour le genre d'inférences que j'étudie ici; il en offre cependant pour un genre apparenté, et les règies R, P, E, et C sont calquées sur elles. Quant à l'article « Intuitionism reconsidered, » il a été publicé dans le numéro 2 du volume III de Notre Dame Journal of Formal Logic, pp. 79–82.

3 J'emploie les deux lettres « W » et « X » pour me reférer aux variables ou constantes individuelles qui figurent dans les prémisses et conclusion A 1, A 2, ,,,, An, et B, et je me sers des deux lettres « w » et « x » comme variables individuelles.Je suppose connue la notion d'occurrence libre (free occurrence) d'une variable individuelle dans une prémisse ou conclusion donnée (voir à ce sujet mon manuel An Introduction to Deductive Logic, pp. 59–60), et déclare libre toute occurrence d'une constante individuelle dans une prémisse ou conclusion donnée.

4 Pour abréger, je combine désormais tout emploi de E et P en une seule opération.

5 La lettre « R » que j'attache ici a « IE» et « II » signifie « restreinte »; de même, la lettre « G » que j'attache plus bas à « IE » et « II » signifie « généralisée ».

6 Voir entre autres Leonard, H. S., « The Logic of Existence, » Philosophical Studies, vol. VII, no. 4 (1956), pp. 4964, et Quine, W. V., « On What There Is, » The Review of Metaphysics, vol. II, no. 5 (1948), pp. 2138.

7 Voir Leblanc, H. et Hailperin, T., « Nondesignating Singular Terms, » Philosophical Review, vol. LXVIII, no. 2 (1959), pp. 239243, et Hintikka, J. J., « Existential Presuppositions and Existential Commitments, » The Journal of Philosophy, vol. LVI, no. 3 (1959), pp. 125127.

8 Les lettres « V » et « C » signifient respectivement « variable » et « constante ».

9 La règle IIR suffirait ici à assurer la validité de (6). II ne semble cependant pas y avoir avantage à se donner IIR plutōt que IIG.

10 Voir pour plus de détails « Nondesignating Singular Terms ».

11 Voir Carnap, R., Logical Foundations of Probability, Chicago, 1950, chapitre III; voir aussi Leblanc, H., Statistical and Inductive Probabilities, Englewood Cliffs, N. J., 1962, chapitre 1.

12 Carnap présume, notons-le, que les constantes individuelles de L et par conséquent, de tout sous-langage de L sont dans un ordre donné.

13 Voir Henkin, L., « An algebraic characterization of quantifiers, » Fundamenta Mathematicae, vol. 37, no. 1 pp. 6374.

14 Ce réultat est dû, comme je l'ai dit plus haut, à Leon Henkin.

15 Voir à ce sujet Church, A., Introduction to Mathematical Logic, Volume I, Princeton, 1956, pp. 238245; voir aussi Ladriére, J., Les Limitations Internes des Formalismes, Paris & Louvain, 1957.

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