We prove an almost optimal lower bound for the so called last ‘geometric’ minimum for the height of a subvariety V of a power of the multiplicative group ${\mathbb G}_m^n$. More precisely, one shows that if $\boldsymbol x$ is a point of $V(\overline{\mathbb Q})$ which does not belong to a translate of a sub-torus of ${\mathbb G}_m^n$ lying in V, of height less than a function essentially linear in the inverse of the degree of V, then $\boldsymbol x$ belongs to a finite ‘exceptional’ subset of V. Thus, one proves ‘up to an $\varepsilon$’ the sharpest conjectures that can be formulated on this problem. Previously, the best known result in this direction was due to the second author and Philippon, who provided lower bounds which were inverse monomial in the degree of V (Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 28 (1999), 489–543; Errata29 (2000)).

Nous démontrons une nouvelle minoration de la hauteur normalisée d’une sous-variété algébrique d’un tore multiplicatif (et par conséquent des petits points d’une telle sous-variété). Si dans le cas torique, une preuve effective de la conjecture de Bogomolov généralisée était déjà connue ainsi que des estimations “pluri-exponentielles” en le degré de la variété (Schmidt et Bombieri–Zannier), puis monomiales inverses (par le deuxième auteur et Philippon), notre approche qui est entièrement nouvelle, permet de démontrer à un $\varepsilon$-près les conjectures les plus précises (en fonction du degré) que l’on peut formuler dans ce cadre. On obtient ainsi pour ce problème l’exact analogue de ce que l’on sait obtenir dans le cadre du problème de Lehmer. Enfin, nous démontrons pour les sous-variétés de codimension au moins 2 une conjecture du deuxième auteur et Philippon.

We study the transcendence degree (of the values at algebraic points) of the coordinate functions of a given one parameter subgroup on a simple g dimensional T-module. In such a situation, we obtain a lower bound for this transcendence degree depending on g and on the growth order of the parameter subgroup. As a particular case, one gets the finite characteristic analogue of a result of Siegel on the algebraic independence for the values of the classical Bessel function.

Résumé.  Nous obtenons une minoration du degré de transcendance d'un ensemble de valeurs en des points algébriques des fonctions coordonnées d'un sous-groupe à un paramètre d'un T-module simple, en fonction de l'ordre de croissance de ces dernières et de la dimension du T-module. Un cas particulier de ce résultat permet d'obtenir en caractéristique finie un analogue d'un résultat de Siegel sur l'indépendance algébrique des valeurs de la fonction de Bessel usuelle.