Hostname: page-component-76fb5796d-2lccl Total loading time: 0 Render date: 2024-04-28T12:29:37.011Z Has data issue: false hasContentIssue false

SUR LES COURBES POLAIRES D’UNE COURBE PLANE RÉDUITE

Published online by Cambridge University Press:  01 July 2000

EVELIA R. GARCÍA BARROSO
Affiliation:
Departamento de Matemática Fundamental Facultad de Matemáticas Universidad de La Laguna 38271 La Laguna Tenerife Spainergarcia@ull.es
Get access

Abstract

This paper contains results on the structure of generic local polar curves $P(\tau)$ of a reduced germ of a complex analytic plane curve $C$. We first prove a decomposition theorem of the branches of $P(\tau)$ into bunches. By construction, all the branches in the same bunch have the same contact with all branches of $C$. It follows that the Puiseux expansions of all the branches of a given bunch coincide with that of a branch of $C$ up to an order depending upon the bunch. An initial part of these expansions is therefore independant of $\tau$. In the second part, we study to what extent the contact of the branches of $C$ with the branches of $P(\tau)$ determines the topological type of $C$. We build from these contacts a matrix which is determined by the topological type of $C$ and determines it. In an appendix, we explain how to recover, from the results of the first part, the L\^e--Michel--Weber theorem on the behaviour of polar curves in an embedded resolution of singularities of $C$. Cet article pr\'esente des r\'esultats sur la structure des courbes polaires locales g\'en\'eriques $P(\tau)$ d'un germe r\'eduit de courbe analytique complexe plane $C$. Nous d\'emontrons d'abord un th\'eor\`eme de d\'ecomposition en paquets des branches de $P(\tau)$. Par construction, toutes les branches d'un m\^eme paquet ont le m\^eme contact avec chacune des branches de $C$. L'ensemble de ces paquets est index\'e par un graphe qui ne d\'epend que de la topologie de la courbe $C$ donn\'ee. En cons\'equence, le d\'eveloppement de Puiseux de toutes les branches d'un m\^eme paquet de $P(\tau)$ coincide avec celui d'une branche de $C$ jusqu'\`a un ordre d\'ependant du paquet. Une partie initiale de ce d\'eveloppement est donc ind\'ependante de $\tau$. Dans la deuxi\`eme partie de ce travail, nous \'etudions dans quelle mesure le contact avec les branches de $C$ des branches de $P(\tau)$ d\'etermine le type topologique de $C$. Nous construisons \`a partir de tous ces contacts une matrice qui ne d\'epend que du type topologique de $C$ et le d\'etermine. Dans un appendice, nous montrons comment retrouver, \`a partir des r\'esultats prouv\'es dans la premi\`ere partie, le th\'eor\`eme de L\^e--Michel--Weber sur le comportement des polaires dans une r\'esolution plong\'ee des singularit\'es de $C$. E-mail: ergarcia@ull.es 1991 Mathematics Subject Classification: 14H20, 32S10.

Type
Research Article
Copyright
2000 London Mathematical Society

Access options

Get access to the full version of this content by using one of the access options below. (Log in options will check for institutional or personal access. Content may require purchase if you do not have access.)