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LISSITÉ DE LA COURBE DE HECKE DE $\mathrm{GL}_2$ AUX POINTS EISENSTEIN CRITIQUES

Published online by Cambridge University Press:  15 February 2006

J. Bellaïche
Affiliation:
Department of Mathematics, Columbia University, MC 4411, 2990 Broadway, 509 Mathematics Building, New York, NY 10027, USA (jbellaic@math.columbia.edu)
G. Chenevier
Affiliation:
Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, UMR 7539, Institut Galilée, Université Paris 13, 99 Avenue J.-B. Clément, 93430 Villetaneuse, France (chenevie@math.univ-paris13.fr)

Abstract

Soient $p$ un nombre premier et $\mathcal{C}$ la courbe de Hecke $p$-adique de $\mathrm{GL}_2$ de niveau moderé $1$ introduite par Coleman et Mazur. Nous montrons que $\mathcal{C}$ est lisse en ses points Eisenstein critiques et nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que l’application poids soit étale en un tel point en terme de certaines valeurs de la fonction $\zeta$$p$-adique. Un point important est la détermination en ces points du lieu de réductibilité schématique du pseudo-caractère Galoisien porté par $\mathcal{C}$, et ce restreint à un groupe de décomposition en $p$. L’assertion de lissité découle alors de ce que les fonctions $L$ de Dirichlet ont au plus des zéros simples aux entiers.

Let $p$ be a prime number and $\mathcal{C}$ be the $p$-adic tame level $1$ eigencurve introduced by Coleman and Mazur. We prove that $\mathcal{C}$ is smooth at the evil Eisenstein points and we give necessary and sufficient conditions for etaleness of the map to the weight space at these points in terms of $p$-adic zeta values. A key step is the determination at these points of the schematic reducibility locus of the pseudo-character carried by $\mathcal{C}$ restricted to a decomposition group at $p$. Then, the smoothness appears to be a consequence of the fact that the Dirichlet $L$-functions only have simple zeros at integers.

Type
Research Article
Copyright
2006 Cambridge University Press

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