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Équivalence élémentaire et isomorphisme des corps de courbe sur un corps algébriquement clos

  • Jean-Louis Duret (a1) (a2)

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Cet article fait suite à [D] dont il utilise les résultats.

Soit if ℒ langage constitué de deux constantes 0 et 1, et de deux fonctions + et ·; si A est un sous-ensemble d'une structure de ℒ, nous noterons if ℒ (A) le langage obtenu en ajoutant à ℒ if les éléments de A comme constantes.

Tous les corps considérés seront commutatifs. Nous appellerons corps de courbe sur un corps k une extension K de k finiment engendrée de degré de transcendance 1 sur k telle que k soit relativement algébriquement clos dans K.

Nous appellerons ensemble de coefficients d'une courbe sur un corps k un sous-ensemble A de K tel qu'il existe un système de générateurs de l'idéal de cette courbe dont les coefficient sont des éléments de A.

Nous nous proposons d'étudier les conjectures suivantes:

1. Conjecture. Si K est un corps de courbe sur un corps algébriquement clos k, il existe un sous-ensemble fini A de k tel que tout corps de courbe sur kélémentairement équivalent à K dans le langage ℒ (A), lui est k-isomorphe.

2. Conjecture. Deux corps de courbe sur un corps algébriquement clos K élémentairement équivalents dans le langage ℒ sont isomorphes.

Nous démontrerons ces conjectures lorsque le genre est différent de 1, et si le genre est 1, lorsque la caractéristique est nulle et le corps de courbe sans multiplication complexe.

Une version plus simple de cet article est parue dans [D′].

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References

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[D]Duret, Jean-Louis, Sur la théorie élémentaire des corps de fonctions, this Journal, vol. 51 (1986), pp. 948956.
[D′]Duret, Jean-Louis, Corps de courbe sur C élémentairement équivalents, Séminaire de structures algébriques ordonnées 1989-1990 (Delon, F.et al., éditeurs), Prépublications de l'Équipe de Logique Mathématique, no. 17, Université Paris-7, Paris, 1990, pp. 17.
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