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Études sur les règles d'inférence dites règles de Gentzen

  • Hugues Leblanc (a1)

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Cet article a pour objet d'étudier diverses règies d'inférence dites “règies de Gentzen”. Je me limiterai dans cette première partie aux inférences dont la validité tient au rôle qu'y jouent les cinq connecteurs « ⊃ », « ∼ » , « & », « ∨ », et « ≡ ». Celles dont la validité tient au rôle qu'y jouent ces cinq connecteurs, les deux quantificateurs « ∀ » et « ∃ », et le signe d'égalité ou d'identité « = », feront l'objet d'une autre étude. Quelques-uns des résultats que je soumettrai dans ces deux études sont le fruit de mes propres recherches; d'autres sont dus à divers collègues avec qui j'ai eu le plaisir de collaborer ces dernières années.

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1 Voir à ce sujet les Recherches sur la Déduction Logique de Gerhard Gentzen, dont ces règles portent le nom; la traduction du mémoire est due à R. Feys et J. Ladrière. Voir aussi mon manue An Introduction to Deductive Logic, pp 155–160.

2 C'est-à-dire, « Si ..., alors », « Ne ... pas », « Et », « Ou », et « Si et seulement si ».

3 C'est-a-dire, « Pour tout » et « Pour quelque ».

4 II est facile de démontrer que ⊢ B si et seulement si AB pour n'importe quel A, et par consèquent qu'une conclusion B découle de la suite nulle de prémisses si et seulement si B découle de n'importe quelle prémisse.

5 La lettre « H » est empruntée au mot anglais « horseshoe », un mot communément employé pour désigner le connecteur « ⊃ ». La lettre souscrite « C » (pour « Church ») sert à distinguer la version présente de la règie d'élimination pour « ⊃ » d'une autre version que j'étudie plus loin.

6 La lettre « N » est empruntée au mot « négation ». La lettre souscrite « C » sert à distinguer la version présente de la régie d'élimination pour « ˜ » d'une autre version que j'étudie plus loin.

7 Le mémoire original de Gentzen ne contient aucune régle de structure. La plupart des auteurs que j'ai pu consulter comblent cette lacune à l'aide des règies R, P, E, et C; le résultat que je soumets dans le texte s'applique donc à eux autant qu'à Church. Feys et Ladrière dans la Note B* de leur traduction de Gentzen suggèrent comme règles de structure P, E, C, et une quatrième règie apparentée ´ la régle S que j'étudie plus loin. Ils ne mentionnent pas la règle R, que je n'ai pas réussi à déduire de leur quatre règles de structure et que je les soupçonne d'employer tacitement. Ils formulent la régle d'éli-mination pour « ⊃ » de la façon HE que j'étudie plus loin; il est cependant possible, grâce à leur quatrième règle de structure, de passer de HE à HEC) et par conséquent de démontrer que, étant donné R, la règle de structure C est superflue chez eux comme chez Church.

8 La quatrième règle de structure de Feys et Ladrière semble se lire: « Si B 1B 2 ,..., BmC, où m ≥ 1, ct A 1, A 2, ... , AnBi pour tout i de 1 à m, alors A 1, A 2, ..., AnC, » et peut se substituer à S. Dans An Introduction to Deductive Logic, p. 156, je ne mentionne point S; étant donné le résultat de Henkin, la version que j'offre à la page 155 de la règle d'élimination pour « ⊃ » doit done se lire comme HEc et non comme HE.

9 La lettre « C » est empruntée au mot « conjonction ». La règie CI peut être affaiblie de façon à se lire: « A, BA & B. » La version du texte me donne une règie commençant par le mot « Si » pour chaque connecteur.

10 La lettre « D » est empruntée au mot « disjonction ».

11 La lettre « B » est empruntée au mot « biconditionnelle ».

12 Voir au sujet de la logique intuitionniste A. Heyting, Intuitionism; voir aussi mon manuel An Introduction to Deductive Logic, pp. 98-103.

13 Voir ma note avec Beth, « A note on the intuitionist and the classical propositional calculus, » Logique et Analyse, 3e Année (1960), pp. 174-176.

14 Il est admissible pour cette ligne d'employer la règle NEc, puisqu'elle découle de NE, HI, E, et HEc, et que HEc découle à son tour de HE, E, P, et S.

15 Voir ma note avec Belnap, « Intuitionism reconsidered, » dans Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 3, no. 3 (1962).

16 J'exige, il faut le noter, que toute règle d'inference soit une règle de structure, d'élimination, ou d'introduction, et que toute règle d'élimination ou d'introduction n'exhibe qu'un seul connecteur. II est possible par ailleurs de passer de la logique intuitionniste à la logique classique des connecteurs en ajoutant aux règles de la première des règles telles que ⊢ A V ˜ A, ou (A ⊃ ˜ A) ⊃ AA, ou ˜ ˜ A, ( ˜ A ≡ ˜ ˜ A) ≡ (˜ AA) ⊢ A, qui exhibent deux connecteurs.

17 Qu'il faille recourir à NI dans la preuve en question découle du fait qu'il faut y recourir à NE. L'espace me manque pour élaborer ce point.

18 La présente étude résume à grands traits une conférence que j'ai prononcée en novembre 61 à Yale University.

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  • Hugues Leblanc (a1)

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