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Produit eulérien motivique et courbes rationnelles sur les variétés toriques

Part of: Special varieties Zeta and $L$-functions: analytic theory Cycles and subschemes Arithmetic algebraic geometry General field theory

Published online by Cambridge University Press:  03 December 2009

David Bourqui
David Bourqui*
Affiliation:
IRMAR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France (email: david.bourqui@univ-rennes1.fr)
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Abstract

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We study the asymptotical behaviour of the moduli space of morphisms of given anticanonical degree from a rational curve to a split toric variety, when the degree goes to infinity. We obtain in this case a geometric analogue of Manin’s conjecture about rational points of bounded height on varieties defined over a global field. The study is led through a generating series whose coefficients lie in a Grothendieck ring of motives, the motivic height zeta function. In order to establish convergence properties of this function, we use a notion of motivic Euler product. It relies on a construction of Denef and Loeser which associates a virtual motive to a first order logic ring formula.

Résumé

Nous étudions le comportement asymptotique de l’espace des modules des morphismes de degré anticanonique donné d’une courbe rationelle vers une variété torique déployée, lorsque ce degré tend vers l’infini. Nous obtenons dans ce cas un analogue géométrique de la conjecture de Manin sur le nombre de points de hauteur bornée des variétés définies sur un corps global. L’étude se fait via une série génératrice à coefficients dans un anneau de Grothendieck de motifs, la fonction zêta des hauteurs motivique. Afin d’établir des propriétés de convergence de cette fonction, nous utilisons une notion de produit eulérien motivique, laquelle repose sur la construction de Denef et Loeser permettant d’associer un motif virtuel à une formule logique du premier ordre dans le langage des anneaux.

Keywords

Manin’s conjecturesheight zeta functiontoric varietiesvirtual motivesEuler productpseudo-finite fields

MSC classification

Secondary: 11G50: Heights 14M25: Toric varieties, Newton polyhedra 12E30: Field arithmetic 14C05: Parametrization (Chow and Hilbert schemes) 11M41: Other Dirichlet series and zeta functions
Type
Research Article
Information
Compositio Mathematica , Volume 145 , Issue 6 , November 2009 , pp. 1360 - 1400
Copyright
Copyright © Foundation Compositio Mathematica 2009

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