1.1. — Le titre de cette note indique que le problème étudié est très général et par le fait même applicable à de nombreux domaines; physique, biologie, recherche opérationnelle, assurances, téléphonie, etc …

C'est évidemment parce que certains problèmes ont la même structure que leur considération sous forme abstraite, est plus importante. C'est la raison pour laquelle nous traitons le problème de structure, qu'il suffit de particulariser dans chaque domaine d'application.

a) Nous supposerons une période de référence de durée constante.

b) Un évènement E, généralement quelconque, mais invariable, peut se produire pendant cette période. Le nombre de fois que cet évènement se réalise est une variable aléatoire I, qui sera définie par la suite

qi désignant la probabilité pour que E se réalise i fois pendant la période de référence. Nous conviendrons de dire que I mesure l' “intensite” du phénomène E.

c) Lorsque l'évènement E se réalise, on effectue une expérience relativement à. une autre variable aléatoire quantitative N (positive ou non). Cette variable stochastique est completement définie par sa fonction de répartition.

F(n) = prob{N<n}

généralement quelconque; nous conviendrons de dire que n est le “niveau” atteint par la variable N au cours de l'expérience.

1.3. — De nombreux problèmes de la vie courante peuvent être synthétisés sous cette forme et pour ne mentionner que quelques dans le domaine de la vie des organismes d'assurances, citons sous forme de tableau

Cette simple énumération indique la grande variété de problèmes de même structure que l'on rencontre journellement; il est par suite utile de les traiter en synthèse.

Le “Contrôle actuariel dans la comptabilité des branches élémentaires” constitue le 2e thème de ce colloque, tel que l'annonce le programme officiel. Ce thème comprend une ière partie intitulée: “Problèmes relatifs aux sinistres”, qui est le sujet de cette séance.

Les notes préliminaires de notre Président, parues dans notre dernier bulletin, suggéraient d'orienter les travaux vers les applications pratiques de l'important travail théorique déjà réalisé dans le cadre d'Astin. Plus particulièrement en ce qui concerne les sinistres dans les assurances de responsabilité civile, ces notes attiraient l'attention sur une certaine analogie que la longue dureé de règlement des sinistres pouvait créer entre l'estimation des réserves pour sinistres à régler et l'évaluation des réserves mathématiques en branche Vie et elles soulevaient dès lors assez naturellement la question des méthodes d'estimation collective. En fait, les communications qui ont été rattachèes à cette rère partie du 2e thème interprètent le sujet de manière extrêmement large. Ne voyez dans cette réflexion initiale nul reproche aux auteurs, mais la simple constatation d'un fait dont mon rapport introductif doit tenir compte: il ne sera pas une synthese dans les directions proposées par notre Président.

Une partie des communications se rattache au fond à la théiorie du risque. Pour mieux dégager l'apport de ces notes, je me propose de le dépouiller autant que possible de son aspect purement mathématique et de le situer dans l'évolution des idées et des recherches en la matière.

J'indiquerai ensuite l'apport des communications au sujet de l'estimation des réserves pour sinistres à régler.

Enfin, je résumerai les travaux qui se rapportent à la tarification du risque automobile.

A compound Poisson process, in this context abbreviated to cPp, is defined by a probability distribution of the number m of events in the interval (o, τ) of the original scale of the process parameter, assumed to be one-dimensional, in the following form.

where du shall be inserted for t, λτ being the intensity function of a Poisson process with the expected number t of events in the interval (O, τ) and U(ν, τ) is the distribution function of ν for every fixed value of τ, here called the risk distribution. If the inverse of is substituted for τ, in the right membrum of (1), the function obtained is a function of t.

If the risk distribution is defined by the general form U(ν, τ) the process defined by (1) is called a cPp in the wide sense (i.w.s.). In the sequel two particular cases for U(ν, τ) shall be considered, namely when it has the form of distribution functions, which define a primary process being stationary (in the weak sense) or non-stationary, and when it is equal to U1(ν) independently of τ. The process defined by (1) is in these cases called a stationary or non-stationary (s. or n.s.)cPp and a cPpin the narrow sense (i.n.s.) respectively. If a process is non-elementary i.e. the size of one change in the random function constituting the process is a random variable, the distribution of this variable conditioned by the hypothesis that such a change has occurred at τ is here called the change distribution and denoted by V(x, τ), or, if it is independent of τ, by V1(x). In an elementary process the size of one change is a constant, so that, in this case, the change distribution reduces to the unity distribution E(x — k), where E(ξ) is equal to I, o, if ξ is non-negative, negative respectively, and k is a given constant.

Pour construire un tarif “Automobile” il est nécessaire d'étudier la charge des sinistres causés par les véhicules appartenant à des groupes homogènes divers: il est commode de procéder à un échantillonnage.

On peut construire un échantillon où figurent des proportions constantes ou connues de chacun des groupes constituant la population à étudier.

En pratique l'échantillonnage, doit, pour avoir une efficacité admissible, être particulièrement important dans les groupes à faible fréquence pour donner un nombre significatif de sinistres.

Or, comme pour déterminer la méthode de sélection des échantillons on ne connait pas le groupe des véhicules sélectionnés, on serait contraint de prendre un échantillon très important.

En France, le Groupement Technique Accidents fait des études sur la totalité des véhicules assurés par les Compagnies adhérentes à la statistique commune et qui représentent un tiers du Pare National.

L'inconvénient de la méthode actuelle est l'impossibilité d'étudier rapidement un nouveau critère — car il faut attendre les mouvements sur le portefeuille à l'occasion desquels on enregistre le critère à étudier; les mouvements, en outre, frappent probablement moins les véliicules à faible fréquence. Le délai nécessaire pour l'étude d'un nouveau critère se compte en années.

Il peut être souhaitable pour suivre l'évolution économique ou sociale d'étudier rapidement dans un délai chiffré en mois, l'influence de certains critères nouveaux, pour éviter sous la pression d'événements extérieurs d'être amené à. prendre des décisions dites “politiques” — cet euphémisme justifiant, dans le doute, des réductions de tarif explicables uniquement par le fait qu'un concurrent dangereux est peut-être sérieux — à ce moment il est inévitable de procéder à un sondage.

Le principe de l'assurance contre les accidents d'automobiles est la formation d'une mutualité où les assurés mettent en commun leurs risques. Si les risques des assures ne sont pas tous égaux entre eux, il est normal de demander à chacun des assurés une prime proportionnelle au risque qu'il fait supporter à la mutualité. La tarification a pour objet l'estimation du risque propre à chaque assuré, afín de répartir équitablement la charge totale de la mutualité.

On groupe habituellement les véhicules ayant en commun plusieurs caractéristiques du risque telles que même modèle de voiture, même usage, même lieu de garage habituel. Nous désignerons un tel groupement par classe de tarif.

On observe les accidents relatifs aux véhicules appartenant à une même classe de tarif. Le quotient du coût de ces accidents au nombre de voitures-année donne la prime moyenne pure empirique. Cette prime moyenne subit alors quelques corrections pour tenir compte de la survenance au hasard des gros sinistres et du fait que la prime à indiquer dans le tarif estime le risque moyen futur et non pas le risque passé Cette prime moyenne sera demandée à toutes les voitures ayant les caractéristiques définies par la classe de tarif; elle suppose que tous les risques de cette classe sont égaux, c'est-à-dire que les seuls paramètres de tarification retenus sont exhaustifs pour caractériser le risque que l'assuré fera supporter à la mutualité.

Ce sujet n'a pas été traité, peut-être parce qu'il paraît trop simple; pourtant il mérite examen vu son utilité pratique certaine.

Il est impossible de négliger le jeu de la réserve de Risques en Cours dans l'estimation du taux des sinistres c'est-à-dire dans l'ap-préciation de la tarification et de l'équilibre d'une branche d'assurances.

D'autre part, comme le souligne justement la note introductrice aux thèmes proposés établie par le Comité Astin, le problème est moins immédiat qu'il ne paraît:

On considère généralement la réserve de Risques en Cours (l'expression anglaise risques non expirés est peut-être meilleure) comme un simple pourcentage des primes totales: c'est la fraction de primes non acquise à l'exercice mais ceci suppose que le risque est uniformément réparti dans le temps et que les primes correspondent exactement aux risques couverts.

En fait deux conceptions sont possibles:

— méthode rétrospective: on considère le déroulement passé des opérations: schématiquement on prend la différence entre les primes perҁues et les sinistres survenus; ce qui hypothèque l'avenir.

— méthode prospective: on fixe la somme nécessaire pour faire face aux sinistres à venir dans l'intervalle de temps encore couvert par les polices en cours, ceci compte tenu du taux actuel de sinistres et même de son évolution probable dans le futur immédiat.

La méthode prospective est-elle plus correcte? Il peut le sembler. Mais c'est seulement viser à l'équilibre probable du bilan futur, au détriment du bilan actuel. Pourquoi une insuffisance de tarification, par exemple, doit-elle peser sur le seul compte de l'exercice clos?

The object of the Netherlands Foundation for Sanatorium Insurance (“N.S.V.”) is to insure the risk of treatment in a sanatorium because of tuberculosis. For insured persons admitted to a sanatorium because of tuberculosis, the N.S.V. pays the insured sum for every day of treatment. At the moment nearly 80% of the population of the Netherlands is insured directly or indirectly in the N.S.V.

There are three groups of insurances: obligatory insurance, voluntary collective insurances and voluntary individual insurances. The insurances in the first and second group are, strictly speaking, reinsurances of the risk of tuberculosis of a great number of institutions concerned with cost of sickness insurance. The risk of the insurance in these two groups is only administered and pooled by the N.S.V.

This paper concerns the group of the individual insurances only, which group contains about 1.250.000 insured persons. The risk of this group is run by the N.S.V. itself. As the N.S.V. is a non-profit organisation, the premium level is held as low as possible.

From statistical data, derived from the administration of the N.S.V., the “admission frequency” is calculated every year, being the quotient of the number of insured persons, admitted to a sanatorium in that year, and the total number of insured persons. This admission frequency a, which is now about is used as a basis for the calculation of the premium which will be in force during the next year.

La solvabilité d'une entreprise est généralement référée à des vérifications d'ordre patrimonial et financier, à des considérations de nature économique (relatives à l'entreprise en elle-même, à son avenir, au milieu dans lequel elle opère, au marché dont elle constitue une unité élémentaire), à des relèvements, constatations, informations même de caractère subjectif et personnel. En d'autres termes, elle se définit sur la base d'un ensemble d'éléments “réels”, mais aussi de facteurs diversement constitués et diversement déterminés qui consentent, dans leur ensemble, de formuler un jugement, positif ou négatif, dont dérive l'attitude des “tiers” face à la possibilité, plus ou moins large, d'établir ou de développer ou de réduire ou de trancher des rapports contractuels.

Dans le domaine des entreprises d'assurances — à l'égard desquelles l'élément “confiance” de la part du grand public a un poids fondamental, s'agissant d'engagements qui se réalisent dans le temps en fonction de certaines probabilités — le critère de solvabilité n'est pas uniquement basé sur l'ensemble des facteurs d'appréciation indiqués ci-haut, mais trouve un point de répère solide, sur la consistance des “Réserves techniques” (ou, au moins, d'une partie de ces réserves) et sur le contrôle que, dans presque tous les Pays, est exercé par l'Etat en sauvegarde de la “masse des assurés”.