En Suisse, les sociétés d'assurances bonifient à leurs assurés en responsabilité civile autos une ristourne qui dépend du nombre des années sans sinistres, suivant le barème ci-après:

Cette ristourne a pour but de tenir compte des facteurs d'ordre subjectif qui influencent le risque et qui ne peuvent être pris en considération dans les tarifs.

Les deux questions suivantes se posent:

A) Y a-t-il en réalité des différences dans le risque subjectif justifiant la bonification d'une ristourne pour années sans sinistres?

B) Si oui, le barème indiqué ci-haut tient-il compte de ces différences d'une façon adéquate?

Le présent travail a pour but de répondre à ces deux questions en appliquant les méthodes modernes des tirages au sort.

Question A

Voici les résultats de quelques tirages au sort du portefeuille de „La Générale de Berne”

S'il n'y avait pas de différences dans le risque subjectif, la variable aléatoire k devrait suivre la distribution de Poisson. Toutefois, on sait que dans ce cas, devrait être égal à s2(k), ce dont il n'est évidemment pas question pour les chiffres ci-dessus. En conséquence, k n'est pas distribué d'après Poisson, et l'existence de différences dans le risque subjectif est prouvée.

On pourrait se demander si les différences entre et s2(k) sont de nature aléatoire. Une investigation spéciale a toutefois montré que si k suivait la distribution de Poisson, la probabilité pour des différences aussi élevées que celles des tirages indiqués ci-haut serait pratiquement nulle.

La théorie du bonus n'en est qu'à ses débuts et, afin d'en étudier une première approximation, Monsieur le Professeur Fréchet a utilisé la théorie des chaînes de Markoff-Poincaré; la première synthèse de cette théorie a été donnée dans son livre „Recherches théoriques modernes sur le calcul des probabilités — 2ème livre — Gauthier Villars”.

Nous trouvons que l'idée de Monsieur Fréchet, précisée dans un cadre bien défini d'hypothèses, est particulièrement intéressante et nous voudrions, quant à nous, essayer de dégager pour les actuaires les conséquences qu'une telle hypothèse introduit. On pourra en déduire une marche à suivre pour vérifier dans quelle mesure cette hypothèse cadre avec la réalité.

L'hypothèse fondamentale de Monsieur Fréchet consiste à admettre:

1°) l'existence d'une probabilité pour qu'un véhicule ayant eu i sinistres au cours de l'année calendrier, subisse j sinistres au cours de l'exercice suivant;

2°) que cette probabilité est indépendante de la voiture et de l'année considérée.

Si nous considérons les possibilités réduites à r = 3 cas (de façon à simplifier l'exposé, ce qui ne limite en rien le raisonnement), les possibilités seront complètement définies par le tableau ou matrice de la chaîne de Markoff-Poincaré (voir page suivante).

L'existence d'une chaîne de Markoff-Poincaré entraîne un certain nombre de conséquences, développées et démontrées dans l'ouvrage cité de Monsieur Fréchet.

The precise wording of the heading is deliberate. The Canadian system is not a “bonus” nor is it properly described as “no claim”; it is a sub-classification of insureds according to whether they have been accident-free during a term of years ending at the inception of the insurance period. Specific rates are quoted in the Tariff for each sub-class, based broadly on the relative experiences; as a matter of arithmetical convenience, premium rates are calculated by applying discounts or surcharges to a “key” rate, but the percentage discounts or surcharges are not quoted in the Tariff, the Policy or the renewal papers.

In the early 1930's a “no claim bonus” on British lines was part of the Canadian automobile insurance system. A percentage reduction or “bonus” was allowed from the premium specified in the Policy, provided the insured had owned and operated a private passenger car, free of accident or revocation of driving license, for a period of up to three years before the inception of the Policy. At that time the Automobile Insurance Market was profitable and highly competitive, both as between Companies and as between Agents. Because of inter-Company competition, confirmation of entitlement to the bonus was rarely attempted. Often it was not possible, as most Companies did not maintain an alphabetical index of insureds; an effort to set up an inter-Company claim-recording bureau broke down through sheer weight of numbers of claims.

According to the provisions of the Swedish tables of rates the premium payable on a certain policy both for Third Party Liability and for Car Damage Insurance (without clause for particular self retention) is equal to the initial premium reduced with regard to points earned as related to years with no indemnities. One such point is earned for each year during which no indemnity has been paid on the policy; upon an indemnity one or two points are lost. The detailed rules for the reduction have been altered from time to time, the existing rules have been valid from the year 1952, these rules will here be called system II, while system I denotes the rules valid during the years immediately previous to 1952. The systems are described in the following table.

The probabilities for the occurrence of a claim and for the occurrence of a lapse for a policy can be considered functions of two variables, the points obtained in the bonus scale, b, and the “duration” i.e. the time elapsed since the policyholder signed his first policy, τ. For simplicity two kinds of models have been constructed, one assuming the probabilities to depend only on τ, the other assuming the probabilities to depend only on b.

La sélection des risques est un des premiers principes fondamentaux que la théorie de l'assurance a dégagés. Il se traduit essentiellement par la répartition des risques en classes de tarif homogènes et il prémunit l'assureur contre le danger de voir „le mauvais risque chasser le bon”.

Pour créer des classes de tarif homogènes, il faut théoriquement repérer tous les facteurs influençant le risque et en chiffrer l'effet. Si cela est fait, la fluctuation des résultats individuels autour de la moyenne n'est que l'effet accidentel du hasard et ne peut donner lieu a posteriori à rectification de la prime: il n'y a rien d'inéquitable à ce que les titulaires des contrats non sinistrés paient pour les autres puisque tous sont égaux devant le risque.

Comme dans toute science appliquée, la mise en oeuvre des principes se heurte parfois à de grandes difficultés d'exécution. Dans la pratique il n'est généralement pas question de repérer tous les facteurs du risque, mais seulement les principaux, ne fût-ce qu'en raison de l'impossibilité de conduire des études statistiques valables sur une multitude de groupes peu étoffés. On ne peut donc faire grief au praticien d'estimer qu'il a créé des classes homogènes lorsque celles-ci tiennent compte des principaux facteurs de risque.

Mais l'optique change si, pour l'une ou l'autre raison qu'il importe peu de préciser, le tarif néglige un ou des facteurs dont le bon sens et l'expérience — à défaut du calcul — prouvent l'influence appréciable.